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广东省汕头四中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

一、选择题: (共10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是

符合题目要求的)

1、已知? ? ?6 ,则角? 的终边落在 ( )

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2、已知 sin? ? ? 3 (?? ? ? ? ? ? ) ,则 sin(?? ? 5? ) 的值为(



5

2

2

A. ? 2 5

B. ? 4 5

C. ? 3 5

D. 1 5

3、已知 a ? (2,1) , b ? (3, ?) ,若 (2a ? b) ? b ,则 ? 的值为 ( )

A. 3

B. ?1 C. ?1或 3 D. ? 3 或1

4、已知 sin(? ? ? ) ? 1 ,则 cos(? ?? ) 的值为(

6

3

3

A. 1 2

B. ? 1 2

C. 1 3

5、函数 y ? 2 cos(x ? ? ) 图象的一条对称轴是 ( 4

A. x ? 0

B. x ? ? 4

C. x ? ? 2


D. ? 1 3
)
D. x ? 3? 4

6、设 a ? 1, b ? 2 ,且 a 、 b 夹角为 2 ? ,则 2a ? b 等于( ) 3

A. 2

B. 4 C.12

D. 2 3

7、为得到函数

y

?

cos

? ??

x

?

π 6

? ??

的图象,只需将函数

y

?

sin

x

的图象(

)

A.向左平移 ? 个长度单位 3

B.向右平移 ? 个长度单位 3

C.向左平移 2? 个长度单位 3

D.向右平移 2? 个长度单位 3

? ? ? ? 8、平面上有四个互异的点 A 、 B 、 C 、 D ,已知 DB ? DC ? 2DA ? AB ? AC ? 0

则 ?ABC 的形状是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

9、将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 ? 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10
伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图像的函数解析式是( )

A. y ? sin(2x ? ? ) 10

B. y ? sin(2x ? ? ) 5

C. y ? sin(1 x ? ? ) 2 10

D. y ? sin(1 x ? ? ) 2 20

10、已知 f (x) 是以? 为周期的偶函数,且 x ?[0, ? ] 时, f (x) ? 1? sin x ,则当 x ?[ 5 ? ,3? ]

2

2

时, f (x) 等于 ( )

A.1? sin x

B.1? sin x C. ?1? sin x

D. ?1? sin x

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上)

11、已知 ?ABC 中, D 为 AB 边上一点,若 AD ? 2DB,CD ? 1 CA ? ?CB,则? ?



3

12、已知函数 f (x) ? ax2 ? 2x ? 3 在区间 (1, 2) 上是减函数,则 a 的取值范围是



13、若函数 f (x) 具有性质:① f (x) 为偶函数,②对任意 x ? R 都有 f (? ? x) ? f (? ? x) 则

4

4

函数 f (x) 的解析式可以是: ___________ (只需写出满足条件的一个解析式即可)

14、对于函数 f (x) ? sin(2x ? ? ) ,下列命题: 6

①函数图象关于直线 x ? ? ? 对称; 12

②函数图象关于点 (5? ,0) 对称; 12

③函数图象可看作是把 y ? sin 2x 的图象向左平移个 ? 单位而得到; 6

④函数图象可看作是把 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标

6

2

不变)而得到;其中正确命题的序号是

.

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答须写出文字说明,证明过程和演算步骤)

15、(本小题满分12 分)

sin(2? ??)?sin(? ? ? ) ? cos(?? ? ? )

(1)化简

sin(3? ??)? cos(? ? ? )



(2)求函数 y ? 2 ? sin2 x ? cos x 的最大值及相应的 x 的值.

16、(本题满分12 分)已知函数

f

(x)

?

x2 1? x2



(1)求 f (2) 与 f ( 1 ) , 2

f (3) 与 f (1) ; 3

(2)由(1)中求得结果,你能发现 f (x) 与 f ( 1 ) 有什么关系?并证明你的结论; x

(3)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ?? ? f (2013) ? f (1 ) ? f (1) ?? ? f ( 1 ) 的值 .

23

2013

17、(本小题满分14

分)已知

? a

?

(1, sin ?

? ), b

?

(1, cos?

)

,?

?

R

;

(1)



? a

?

? b

? (2,0) ,求 sin2 ?

? 2sin? cos?

的值;

(2)若

a?

?

? b

?

(0,

1)

,?

?

(?

,

2?

)

,求 sin?

?

cos?

的值.

5

18、(本小题满分14 分)设函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的最高点 D 的 2

坐标为( ? ,2 ),由最高点 D 运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为( 3? ,0 ).

8

8

(1)求函数 f (x) 的解析式.

(2)当

x

?

????

? 4

,

? 4

? ??

时,求函数

f

(x)

的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相

应的自变量 x 的值.
? (3)将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 4 个单位,得到函数 y ? g(x) 的图象,求函数

y ? g(x) 的单调减区间.

19、(本小题满分14 分) 若函数 f (x) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 F (x) ? f (x) 在 I 上是减函数,
x 则称 y ? f (x) 在 I 上是“弱增函数”

(1)请分别判断 f (x) = x ? 4 , g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数”,
并简要说明理由;
(2)证明函数 h(x) ? x2 ? a2 x ? 4 ( a 是常数且 a ? R )在 (0,1] 上是“弱增函数”.

20、(本小题满分14 分)已知函数 f (x) ? 3ax2 ? 2bx ? b ? a ( a ,b 是不同时为零的常数).

(1)当 a ? 1 时,若不等式 f (x) ? ? 1 对任意 x ? R 恒成立,求实数 b 的取值范围;

3

3

(2)求证:函数 y ? f (x) 在 (?1, 0) 内至少存在一个零点.

2012-2013 学年度高一数学期末考试答案

16、解:(1) f (2) ? 4 , f (1 ) ? 1 5 25
f (3) ? 9 , f (1) ? 1 10 3 10
? f (x) ? f (1) ?1 x

…………………………1 分 …………………………2 分 …………………………5 分

∴ sin? ? cos? ? 1 ,两边平方得 sin? cos? ? 12 , …………………10 分

5

25

19、(1)解: f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是“弱增函数”; g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 上

不是“弱增函数”;理由如下:……………2 分

显然, f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是增函数, f (x) ? 1? 4 在 x ? (1, 2) 上是减函数,

x

x

∴ f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是“弱增函数”。……………4 分

∵ g(x) ? x2 ? 4x 是开口向上的抛物线,对称轴方程为 x ? ?2 ,∴ g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 上是增函数,而 g(x) ? x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是增函数,
x

①若 ? b ? ? 1 即 b ? 3 时, 3a 2 a 2

f (? 1 ) ? f (0) ? (? 1 a)(b ? a) ? (? 1 a2 )(b ?1) ? 0

2

4

4a

∴函数 y ? f (x) 在 (? 1 ,0) 内至少存在一个零点. 2

…………10 分

②若 ? b ? ? 1 即 b ? 3 时, 3a 2 a 2

f (?1) ? f (? 1 ) ? (2a ? b)(? 1 a) ? (? 1 a2 )(2 ? b ) ? 0

2

4

4

a

∴函数 y ? f (x) 在 (?1,? 1 ) 内至少存在一个零点. …………13 分 2

综上得:函数 y ? f (x) 在 (?1, 0) 内至少存在一个零点.…………14 分




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