一、选择题: (共10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的)
1、已知? ? ?6 ，则角? 的终边落在 ( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2、已知 sin? ? ? 3 (?? ? ? ? ? ? ) ，则 sin(?? ? 5? ) 的值为（
）
5
2
2
A． ? 2 5
B． ? 4 5
C． ? 3 5
D． 1 5
3、已知 a ? (2,1) , b ? (3, ?) ,若 (2a ? b) ? b ,则 ? 的值为 （ ）
A． 3
B． ?1 C． ?1或 3 D． ? 3 或1
4、已知 sin(? ? ? ) ? 1 ，则 cos(? ?? ) 的值为（
6
3
3
A． 1 2
B． ? 1 2
C． 1 3
5、函数 y ? 2 cos(x ? ? ) 图象的一条对称轴是 ( 4
A． x ? 0
B． x ? ? 4
C． x ? ? 2
）
D． ? 1 3
)
D． x ? 3? 4
6、设 a ? 1， b ? 2 ，且 a 、 b 夹角为 2 ? ，则 2a ? b 等于（ ） 3
A． 2
B． 4 C．12
D． 2 3
7、为得到函数
y
?
cos
? ??
x
?
π 6
? ??
的图象，只需将函数
y
?
sin
x
的图象(
)
A．向左平移 ? 个长度单位 3
B．向右平移 ? 个长度单位 3
C．向左平移 2? 个长度单位 3
D．向右平移 2? 个长度单位 3
? ? ? ? 8、平面上有四个互异的点 A 、 B 、 C 、 D ，已知 DB ? DC ? 2DA ? AB ? AC ? 0
则 ?ABC 的形状是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
9、将函数 y ? sin x 的图像上所有的点向右平行移动 ? 个单位长度，再把所得各点的横坐标 10
伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像的函数解析式是（ ）
A． y ? sin(2x ? ? ) 10
B． y ? sin(2x ? ? ) 5
C． y ? sin(1 x ? ? ) 2 10
D． y ? sin(1 x ? ? ) 2 20
10、已知 f (x) 是以? 为周期的偶函数，且 x ?[0, ? ] 时， f (x) ? 1? sin x ，则当 x ?[ 5 ? ,3? ]
2
2
时， f (x) 等于 （ ）
A．1? sin x
B．1? sin x C． ?1? sin x
D． ?1? sin x
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分,把答案填在题中横线上）
11、已知 ?ABC 中， D 为 AB 边上一点，若 AD ? 2DB,CD ? 1 CA ? ?CB,则? ?
．
3
12、已知函数 f (x) ? ax2 ? 2x ? 3 在区间 (1, 2) 上是减函数，则 a 的取值范围是
．
13、若函数 f (x) 具有性质：① f (x) 为偶函数，②对任意 x ? R 都有 f (? ? x) ? f (? ? x) 则
4
4
函数 f (x) 的解析式可以是： ___________ （只需写出满足条件的一个解析式即可）
14、对于函数 f (x) ? sin(2x ? ? ) ,下列命题: 6
①函数图象关于直线 x ? ? ? 对称; 12
②函数图象关于点 (5? ,0) 对称; 12
③函数图象可看作是把 y ? sin 2x 的图象向左平移个 ? 单位而得到; 6
④函数图象可看作是把 y ? sin(x ? ? ) 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 1 倍(纵坐标
6
2
不变)而得到;其中正确命题的序号是
.
三、解答题:（本大题共 6 小题，满分 80 分,解答须写出文字说明，证明过程和演算步骤）
15、（本小题满分12 分）
sin(2? ??）?sin(? ? ? ) ? cos(?? ? ? )
（1）化简
sin(3? ??）? cos(? ? ? )
．
（2）求函数 y ? 2 ? sin2 x ? cos x 的最大值及相应的 x 的值.
16、（本题满分12 分）已知函数
f
(x)
?
x2 1? x2
．
(1)求 f (2) 与 f ( 1 ) , 2
f (3) 与 f (1) ; 3
(2)由（1）中求得结果，你能发现 f (x) 与 f ( 1 ) 有什么关系？并证明你的结论; x
(3)求 f (1) ? f (2) ? f (3) ?? ? f (2013) ? f (1 ) ? f (1) ?? ? f ( 1 ) 的值 ．
23
2013
17、（本小题满分14
分）已知
? a
?
(1, sin ?
? ), b
?
(1, cos?
)
，?
?
R
;
(1)
若
? a
?
? b
? (2,0) ，求 sin2 ?
? 2sin? cos?
的值；
（2）若
a?
?
? b
?
(0,
1)
，?
?
(?
,
2?
)
，求 sin?
?
cos?
的值.
5
18、（本小题满分14 分）设函数 f (x) ? Asin(?x ? ?)( A ? 0,? ? 0,| ? |? ? ) 的最高点 D 的 2
坐标为（ ? ,2 ），由最高点 D 运动到相邻最低点时，函数图形与 x 的交点的坐标为（ 3? ,0 ）.
8
8
（1）求函数 f (x) 的解析式.
（2）当
x
?
????
? 4
,
? 4
? ??
时，求函数
f
(x)
的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相
应的自变量 x 的值.
? （3）将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 4 个单位，得到函数 y ? g(x) 的图象，求函数
y ? g(x) 的单调减区间.
19、（本小题满分14 分） 若函数 f (x) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数，而 F (x) ? f (x) 在 I 上是减函数，
x 则称 y ? f (x) 在 I 上是“弱增函数”
(1)请分别判断 f (x) = x ? 4 ， g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数”，
并简要说明理由;
（2）证明函数 h(x) ? x2 ? a2 x ? 4 ( a 是常数且 a ? R )在 (0，1] 上是“弱增函数”．
20、（本小题满分14 分）已知函数 f (x) ? 3ax2 ? 2bx ? b ? a （ a ，b 是不同时为零的常数）.
（1）当 a ? 1 时，若不等式 f (x) ? ? 1 对任意 x ? R 恒成立，求实数 b 的取值范围；
3
3
（2）求证：函数 y ? f (x) 在 (?1, 0) 内至少存在一个零点．
2012-2013 学年度高一数学期末考试答案
16、解：(1) f (2) ? 4 ， f (1 ) ? 1 5 25
f (3) ? 9 ， f (1) ? 1 10 3 10
? f (x) ? f (1) ?1 x
…………………………1 分 …………………………2 分 …………………………5 分
∴ sin? ? cos? ? 1 ，两边平方得 sin? cos? ? 12 ， …………………10 分
5
25
19、（1）解： f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是“弱增函数”； g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 上
不是“弱增函数”；理由如下：……………2 分
显然， f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是增函数， f (x) ? 1? 4 在 x ? (1, 2) 上是减函数，
x
x
∴ f (x) = x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是“弱增函数”。……………4 分
∵ g(x) ? x2 ? 4x 是开口向上的抛物线，对称轴方程为 x ? ?2 ，∴ g(x) ? x2 ? 4x 在 x ? (1, 2) 上是增函数，而 g(x) ? x ? 4 在 x ? (1, 2) 上是增函数，
x
①若 ? b ? ? 1 即 b ? 3 时， 3a 2 a 2
f (? 1 ) ? f (0) ? (? 1 a)(b ? a) ? (? 1 a2 )(b ?1) ? 0
2
4
4a
∴函数 y ? f (x) 在 (? 1 ,0) 内至少存在一个零点． 2
…………10 分
②若 ? b ? ? 1 即 b ? 3 时， 3a 2 a 2
f (?1) ? f (? 1 ) ? (2a ? b)(? 1 a) ? (? 1 a2 )(2 ? b ) ? 0
2
4
4
a
∴函数 y ? f (x) 在 (?1,? 1 ) 内至少存在一个零点． …………13 分 2
综上得：函数 y ? f (x) 在 (?1, 0) 内至少存在一个零点．…………14 分