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江苏省射阳中学2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题_图文

一、填空题(本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分,请将答案填在答题纸指定位置)

1.已知集合 A ? ?1,2,3?,集合 B ? ?3,4?,则 A ? B ? ▲ .

2. 函数 f (x) ? cos(?x ? ? ) 最小正周期为 2? ,其中? ? 0 ,则? ? ▲ .

5

3

3.已知函数 f (x) ? loga x( a ? 0 且 a ? 1),若 f (2) ? f (3) ,则实数 a 的取值范围是 ▲ .

4.函数 f (x) ? ln(2 ? x) ? x ?1 的定义域是





5. 求值: tan 11? =



3

6. 在△ ABC 中,若 sin A ? cos B ,则?B = ▲



a

b

7. 如图,在 6 ? 6 的方格纸中,若起点和终点均在格点的向量

a 、 b 、 c 满足 c ? xa + yb ( x, y ? R ),则 x ? y ? ▲ .

8. 已知函数 f (x) 满足:当 x ? 4 时, f (x) ? (1)x ;当 x ? 4 时, f (x) ? f (x ?1) .则 2
f (2 ? log2 3) = ▲ .

9.设方程 2x ? x ? 4 的根为 x0 ,若 x0 ? (k ?1, k) ,则整数 k ? ▲

10.已知非零向量 a, b 满足| a |?| a ? b |? 1, a 与 b 夹角为 120°,则向量 b 的模为 ▲ .

? ? 11.设定义在区间 0, π 上的函数 y ? sin 2x 的图象与 y ? 1 cos x 图象的交点 P 的横坐标为? ,

2

2

则 tan? 的值为 ▲ .

? ? 12.在等式 sin ? ? 1? 3 tan10? ? 1的括号中,填写一个锐角,使得等式成立,这个锐角

是___▲___.

B

13.已知 A、B 两点是半径为 1 的圆 O 上两点,且 ?AOB ? ? ,若 C 是圆 O 上C 任意一点,则 OA BC

3

O

A

的取值范围是[s, t] ,则

s?t ? ▲

(第 13 题图)

14.已知函数 f ? x? ? 2x ? 3 ,若 0 ? 2a ? b ?1,且 f ?2a? ? f ?b ? 3? ,则T ? 3a2 ? b 的

取值范围是 ▲ .

二、解答题:(本大题共 6 小题,共 90 分。解答应用写出文字说明,证明过程或演算步骤)
15.(本题满分 14 分)设函数 f (x) ? ?x2 ? 2x ? a(0 ? x ? 3) 的最大值为 m ,最小值为 n ,其

中 a ? 0, a ? R .

(Ⅰ)求 m 、 n 的值(用 a 表示);

(Ⅱ)已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xoy 中的原点 o 重合,始边与 x 轴的正半轴重合,

终边经过点 A(m ?1, n ? 3) .求 tan(? ? ? ) 的值. 3
16.(本小题满分 14 分)已知向量 a ? (4, 5cos? ), b ? (3, ? 4 tan ? )

(Ⅰ)若 a // b ,试求 sin?

(Ⅱ)若 a ? b ,且? ? (0, ? ) ,求 cos(2? ? ? ) 的值

2

4

17.(本小题满分 14 分)我市沿海某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服 用,据监测,服药后每毫升血液中的含药量 y(微克)与时间 t(小时)之间近似满足如图所 示的曲线(OA 为线段,AB 为某二次函数图象的一部分,B 是抛物线顶点,O 为原点).

(Ⅰ)写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y=f(t);

(Ⅱ)据进一步测定:每毫升血液中含药量不少于 4 微克时,对治疗有效,求服药一次治疗 9
疾病有效的时间.

18.(本小题满分 16 分)已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角,且其对边分别为 a、b、c ,且 2 cos2 A ? cos A ? 0 .
2

(Ⅰ)求角 A 的值;

(Ⅱ)若 a ? 2 3,b ? c ? 4 ,求 ?ABC 的面积.

19.(本小题满分 16 分)已知函数 f (x) ? 3 sin(2x ? ?) ? cos(2x ? ?) ( 0 ? ? ? π )

(Ⅰ)若? ? ? ,用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数 f (x) 在[0,π ]上的图象. 3
(Ⅱ)若 f (x) 偶函数,求?

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 π 个单位后,再将得到的图象上 6
各点的横坐标变为原来的 4 倍,纵坐标不变,得到函数 y ? g(x) 的图象,求 g(x) 在?0,π?的

单调递减区间.

y

2

1

O

·?

·? x

2

-1

-2

20.(本小题满分 16 分)若函数 f (x) 为定义域 D 上单调函数,且存在区间[a, b] ? D (其中 a ? b ),使得当 x ?[a,b] 时, f (x) 的取值范围恰为[a, b] ,则称函数 f (x) 是 D 上的正函数, 区间[a, b] 叫做等域区间.
1
(Ⅰ)已知 f (x) ? x 2 是[0, ? ?) 上的正函数,求 f (x) 的等域区间;

(Ⅱ)试探究是否存在实数 m ,使得函数 g( x) ? x 2 ? m 是 (??, 0) 上的正函数?若存在,
请求出实数 m 的取值范围;若不存在,请说明理由.
江苏省射阳中学 2012-2013 学年度期末考试 高一数学试题参考答案

15.解(Ⅰ) 由题可得 f ? x? ? ? ? x ?1?2 ?1? a 而 0 ? x ? 3

所以, m ? f ?1? ? 1? a , n ? f ?3? ? a ? 3

(Ⅱ)角 ? 终边经过点 A?a , a? ,则 tan ? ? a ? 1
a

所以,

tan

? ??

?

?

? 3

? ??

?

tan ? ? tan ? 3
1? tan ? tan ?

? 1? 1?

3 ? ?2 ? 3

3

3

...3 分 ....6 分 ....10 分
....14 分

?4t,0 ? t ? 1,

17.解:

(1)由已知得

?

y=

? ??

1 4

(t

? 5)2 ,1 ? t

?

5.

…………………6 分

18. 解:(1)由 2 cos2 A ? cos A=0 ,得1? cos A ? cos A=0 ,即 cos A ? ? 1 , ……4 分

2

2

A 为 ?ABC 的内角,? A ? 2 ? . 3

…………7 分

(2)由余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? a2 ? (b ? c)2 ? bc …………………10 分

即12 ? 42 ? bc ? bc ? 4

…………………………………………………13 分

又 S ?ABC

?

1 bc sin 2

A?

3.

……………………………………………16 分

19.解:(Ⅰ)当? ? ? 时, y ? 3 sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) ? 2sin(2x ? ? )

3

3

3

6

x

0

?

5?

2?

11?

?

6

12

3

12

y

1

2

0

-2

0

1

y

2

1
函数 y ? f (x)在区间[0,? ]上图像是
O
-1

·?

·? x

2

-2

(Ⅱ) f (x) ?

3

sin(2x

??)

?

cos(2x

?

?)

?

2 sin

? ??

2x

??

?

π 6

? ??

因为 f (x) 为偶函数,则 y 轴是 f (x) 图像的对称轴

………6 分 ……8 分

所以 |

sin

????

?

π 6

? ??

|

=1,则

?

?

? 6

?

k?

?

? 2

(k

?Z)

即?

?

k?

?

2? 3

(k

?

Z)

又因为 0 ? ? ? π ,故? ? 2π 3

(用偶函数的定义解也给分)

……11 分

20.解:(1)因为 f (x) ? x 是 ?0,? ?? 上的正函数,且 f (x) ? x 在?0,? ?? 上单调递增,

所以当

x

??a,b?

时,

?? ? ??

f f

?a? ?b?

? ?

a, b,



?? ? ??

a ? a, b ? b,

解得 a ? 0,b ?1 , 故函数 f ? x? 的“等域区间”为?0,1? ;

(2)因为函数 g(x) ? x2 ? m 是 ???,0? 上的减函数,

………………3 分 ……………5 分

所以当

x

?

?

a,b

?

时,

?? ? ??

g g

? ?

a? b?

? ?

b,即 a,

??a2 ???b2

? ?

m m

? ?

b, a,

……………7 分

两式相减得 a2 ? b2 ? b ? a ,即 b ? ? ?a ? 1? ,

代入 a2 ? m ? b 得 a2 ? a ? m ? 1 ? 0 ,



a

?

b

?

0

,且

b

?

?

?

a

?

1?



?1

?

a

?

?

1 2



…………9 分 ………11 分

? ? 故关于 a 的方程 a2 ? a ? m ?1 ? 0 在区间 ?1,? 1 内有实数解, 2

?h??1? ? 0,

? ? ? ? 记 h?a? ? a2 ? a ? m ?1,



? ?

??h

?1 2

?

解得 0,

m

?

?1,?

3 4



……13 分 ………16 分




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