一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分，请将答案填在答题纸指定位置）
1．已知集合 A ? ?1,2,3?，集合 B ? ?3,4?，则 A ? B ? ▲ .
2. 函数 f (x) ? cos(?x ? ? ) 最小正周期为 2? ，其中? ? 0 ，则? ? ▲ ．
5
3
3．已知函数 f (x) ? loga x（ a ? 0 且 a ? 1），若 f (2) ? f (3) ，则实数 a 的取值范围是 ▲ .
4．函数 f (x) ? ln(2 ? x) ? x ?1 的定义域是
▲
．
5. 求值： tan 11? =
▲
3
6. 在△ ABC 中，若 sin A ? cos B ,则?B = ▲
．
a
b
7. 如图，在 6 ? 6 的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量
a 、 b 、 c 满足 c ? xa + yb （ x, y ? R ），则 x ? y ? ▲ ．
8. 已知函数 f (x) 满足：当 x ? 4 时， f (x) ? (1)x ；当 x ? 4 时， f (x) ? f (x ?1) .则 2
f (2 ? log2 3) = ▲ .
9.设方程 2x ? x ? 4 的根为 x0 ，若 x0 ? (k ?1, k) ，则整数 k ? ▲
10．已知非零向量 a, b 满足| a |?| a ? b |? 1， a 与 b 夹角为 120°，则向量 b 的模为 ▲ ．
? ? 11．设定义在区间 0, π 上的函数 y ? sin 2x 的图象与 y ? 1 cos x 图象的交点 P 的横坐标为? ，
2
2
则 tan? 的值为 ▲ ．
? ? 12．在等式 sin ? ? 1? 3 tan10? ? 1的括号中，填写一个锐角，使得等式成立，这个锐角
是___▲___.
B
13.已知 A、B 两点是半径为 1 的圆 O 上两点，且 ?AOB ? ? ,若 C 是圆 O 上C 任意一点，则 OA BC
3
O
A
的取值范围是[s, t] ，则
s?t ? ▲
(第 13 题图)
14．已知函数 f ? x? ? 2x ? 3 ，若 0 ? 2a ? b ?1，且 f ?2a? ? f ?b ? 3? ，则T ? 3a2 ? b 的
取值范围是 ▲ .
二、解答题：（本大题共 6 小题，共 90 分。解答应用写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本题满分 14 分）设函数 f (x) ? ?x2 ? 2x ? a(0 ? x ? 3) 的最大值为 m ，最小值为 n ，其
中 a ? 0, a ? R ．
（Ⅰ）求 m 、 n 的值（用 a 表示）；
（Ⅱ）已知角 ? 的顶点与平面直角坐标系 xoy 中的原点 o 重合，始边与 x 轴的正半轴重合，
终边经过点 A(m ?1, n ? 3) ．求 tan(? ? ? ) 的值． 3
16.（本小题满分 14 分）已知向量 a ? (4, 5cos? ), b ? (3, ? 4 tan ? )
（Ⅰ）若 a // b ，试求 sin?
（Ⅱ）若 a ? b ，且? ? (0, ? ) ，求 cos(2? ? ? ) 的值
2
4
17．（本小题满分 14 分）我市沿海某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服 用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量 y（微克）与时间 t（小时）之间近似满足如图所 示的曲线（OA 为线段，AB 为某二次函数图象的一部分，B 是抛物线顶点，O 为原点）.
（Ⅰ）写出服药后 y 与 t 之间的函数关系式 y＝f（t）；
（Ⅱ）据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于 4 微克时，对治疗有效，求服药一次治疗 9
疾病有效的时间.
18.（本小题满分 16 分）已知 A、B、C 为 ?ABC 的三个内角，且其对边分别为 a、b、c ，且 2 cos2 A ? cos A ? 0 ．
2
（Ⅰ）求角 A 的值；
（Ⅱ）若 a ? 2 3,b ? c ? 4 ，求 ?ABC 的面积．
19．（本小题满分 16 分）已知函数 f (x) ? 3 sin(2x ? ?) ? cos(2x ? ?) （ 0 ? ? ? π ）
（Ⅰ）若? ? ? ，用“五点法”在给定的坐标系中,画出函数 f (x) 在[0,π ]上的图象． 3
（Ⅱ）若 f (x) 偶函数，求?
（Ⅲ）在（Ⅱ）的前提下，将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 π 个单位后，再将得到的图象上 6
各点的横坐标变为原来的 4 倍，纵坐标不变，得到函数 y ? g(x) 的图象，求 g(x) 在?0，π?的
单调递减区间．
y
2
1
O
·?
·? x
2
-1
-2
20．(本小题满分 16 分)若函数 f (x) 为定义域 D 上单调函数，且存在区间[a, b] ? D （其中 a ? b ），使得当 x ?[a,b] 时， f (x) 的取值范围恰为[a, b] ，则称函数 f (x) 是 D 上的正函数， 区间[a, b] 叫做等域区间．
1
（Ⅰ）已知 f (x) ? x 2 是[0, ? ?) 上的正函数，求 f (x) 的等域区间；
（Ⅱ）试探究是否存在实数 m ，使得函数 g( x) ? x 2 ? m 是 (??, 0) 上的正函数？若存在，
请求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
江苏省射阳中学 2012-2013 学年度期末考试 高一数学试题参考答案
15.解（Ⅰ） 由题可得 f ? x? ? ? ? x ?1?2 ?1? a 而 0 ? x ? 3
所以， m ? f ?1? ? 1? a , n ? f ?3? ? a ? 3
（Ⅱ）角 ? 终边经过点 A?a , a? ，则 tan ? ? a ? 1
a
所以，
tan
? ??
?
?
? 3
? ??
?
tan ? ? tan ? 3
1? tan ? tan ?
? 1? 1?
3 ? ?2 ? 3
3
3
．．．3 分 ．．．．6 分 ．．．．10 分
．．．．14 分
?4t,0 ? t ? 1,
17．解:
（1）由已知得
?
y=
? ??
1 4
(t
? 5)2 ,1 ? t
?
5.
…………………6 分
18. 解：（1）由 2 cos2 A ? cos A＝0 ，得1? cos A ? cos A＝0 ，即 cos A ? ? 1 , ……4 分
2
2
A 为 ?ABC 的内角，? A ? 2 ? . 3
…………7 分
（2）由余弦定理： a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? a2 ? (b ? c)2 ? bc …………………10 分
即12 ? 42 ? bc ? bc ? 4
…………………………………………………13 分
又 S ?ABC
?
1 bc sin 2
A?
3.
……………………………………………16 分
19．解：（Ⅰ）当? ? ? 时， y ? 3 sin(2x ? ? ) ? cos(2x ? ? ) ? 2sin(2x ? ? )
3
3
3
6
x
0
?
5?
2?
11?
?
6
12
3
12
y
1
2
0
-2
0
1
y
2
1
函数 y ? f (x)在区间[0,? ]上图像是
O
-1
·?
·? x
2
-2
（Ⅱ） f (x) ?
3
sin(2x
??)
?
cos(2x
?
?)
?
2 sin
? ??
2x
??
?
π 6
? ??
因为 f (x) 为偶函数，则 y 轴是 f (x) 图像的对称轴
………6 分 ……8 分
所以 |
sin
????
?
π 6
? ??
|
=1，则
?
?
? 6
?
k?
?
? 2
(k
?Z)
即?
?
k?
?
2? 3
(k
?
Z)
又因为 0 ? ? ? π ，故? ? 2π 3
（用偶函数的定义解也给分）
……11 分
20．解：（1）因为 f (x) ? x 是 ?0，? ?? 上的正函数，且 f (x) ? x 在?0，? ?? 上单调递增，
所以当
x
??a，b?
时，
?? ? ??
f f
?a? ?b?
? ?
a， b，
即
?? ? ??
a ? a， b ? b，
解得 a ? 0，b ?1 ， 故函数 f ? x? 的“等域区间”为?0，1? ；
（2）因为函数 g(x) ? x2 ? m 是 ???，0? 上的减函数，
………………3 分 ……………5 分
所以当
x
?
?
a，b
?
时，
?? ? ??
g g
? ?
a? b?
? ?
b，即 a，
??a2 ???b2
? ?
m m
? ?
b， a，
……………7 分
两式相减得 a2 ? b2 ? b ? a ，即 b ? ? ?a ? 1? ，
代入 a2 ? m ? b 得 a2 ? a ? m ? 1 ? 0 ，
由
a
?
b
?
0
，且
b
?
?
?
a
?
1?
得
?1
?
a
?
?
1 2
，
…………9 分 ………11 分
? ? 故关于 a 的方程 a2 ? a ? m ?1 ? 0 在区间 ?1，? 1 内有实数解， 2
?h??1? ? 0，
? ? ? ? 记 h?a? ? a2 ? a ? m ?1，
则
? ?
??h
?1 2
?
解得 0，
m
?
?1，?
3 4
．
……13 分 ………16 分