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广东省广州六中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

广州六中 2012 年高一数学期末考试题

考试时间:90 分钟 满分 150 分 出题:赵霞 审题:刘旭升 预测均分:100~100
参考公式:锥体体积公式:V ? 1 S ? h ,S 为底面积,h 为高 3
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的.

1、直线 l1 的倾斜角的正切值为- 3 ,直线 l2 与 l1 垂直,则 l2 的斜率是(

)

A. ? 3

B. ? 3 3

C. 3

3
D.
3

2.函数 f (x) ? 2 x ? x3 ? 2 在区间(0,1)内的零点个数是 ( )

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

3、已知平面?、? ,直线 l ? ? ,直线 m ? ? ,有下面四个命题:

(1) ∥

(2)

(3) ∥

(4)

其中正确的是( )

A. (1)与(2)

B. (3)与(4)

∥ ∥
C. (1)与(3)

D. (2)与(4)

4. 已 知 集 合 A ? {x ? R | x ? 2 ? 3}, 集 合 B ? {x ? R | (x ? m)(x ? 2) ? 0}, 且

A ? B ? (?1, n), 则 m, n 的值为( )

A. -1,1

B. 1,-1

C. -1,2

D. 1,2

5. 圆(x-3)2+(y+4)2=1 关于直线 y=—x+6 对称的圆的方程是

A.(x+10)2+(y+3)2=1

B.(x-10)2+(y-3)2=1

C.(x-3)2+(y+10)2=1

D.(x-3)2+(y-10)2=1

()

6.已知函数 f (x) ? log2(x2 ? 2x ? 3) ,给定区间 E,对任意 x1, x2 ? E ,当 x1 ? x2 时,

总有 f (x1) ? f (x2), 则下列区间可作为 E 的是( )

A.(-3,-1)

B.(-1,0) C.(1,2)

7.某三棱锥的三视图如图所示,该三梭锥的表面积是

()

D.(3,6)

A. 60+12 5

B. 56+ 12 5

C. 30+6 5

D. 28+6 5

8.设函数 f (x) ? 1 , g(x) ? ax2 ? bx(a,b ? R, a ? 0) ,若 y ? f (x) 的图象与 y ? g(x) 图象有 x

且仅有两个不同的公共点 A(x1, y1), B(x2 , y2 ) ,则下列判断正确的是( )

A. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 B. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 C. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 D. 当 a ? 0 时, x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0

二.填空题(每小题 5 分,共 30 分) 9.设点 B 是 A(2,-3, 5)关于平面 xoy 对称的点,则线段 AB 的长为 10.如图所示,空间四边形 ABCD 中,AB=CD,AB⊥CD,E、F 分别为 BC、AD 的中点,则 EF 和 AB 所成的角为 11.已知直线 l 经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数,则 直线 l 的方程
12.如图,正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1, E, F 分别为

线 段 AA1, B1C 上 的 点 , 则 三 棱 锥 D1 ? EDF 的 体 积 为
____________. 13.从直线 x-y+3=0 上的点向圆 x2+y2-4x-4y+7=0 引切线,则切线长的最小值为

x2 ?1

14.已知函数 y ?

的图象与函数 y ? kx ? 2 的图象

x ?1

恰有两个交点,则实数 k 的取值范围是_________.

三、解答题(共6题,共80分,解答写出必要的证明过程、文字说明) 15. (本题满分 12 分) 平行四边形的两邻边所在直线的方程为 x+y+1=0 及 3x-4=0,其对角线的交点是 D(3,3),
求另两边所在的直线的方程.

16.(本题满分 12 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、F 分别

是 AP、AD 的中点.求证:(1)直线 EF∥平面 PCD;

P

(2)平面 BEF⊥平面 PAD

E

D

A

F

C

B

17. (本题满分 14 分) 广州大学城风景区有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据经 验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超出 6 元,则每超过 1 元,租不 出的自行车就增加 3 辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金 x(元)只取整数,并且要求出租自行 车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用 y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出 租自行车的总收入减去管理费用后的所得).
(1)求函数 y ? f (x) 的解析式及其定义域;
(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多?

18、(本题满分 14 分)

如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD , AB ? AD,AC ? CD,

?ABC ? 60°, PA ? AB ? BC , E 是 PC 的中点.

(Ⅰ)求 PB 和平面 PAD 所成的角的大小;

P

(Ⅱ)证明 AE ? 平面 PCD ;

E

(Ⅲ)求二面角 A ? PD ? C 的正弦值.

A

B

D C

19.(本题满分 14 分)
已知坐标平面上点 M (x, y) 与两个定点 M1(26,1), M 2 (2,1) 的距离之比等于 5. (1)求点 M 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形; (2)记(1)中的轨迹为 C ,过点 A(?2, 3) 的直线 l 被 C 所截得的线段的长为 8,求直线 l 的方程.

20. (本题满分 14 分)
已知 f (x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f (x) ? ax ?1(a ? 0且a ? 1) . (1)求 f (2) ? f (?2) 的值; (2)求 f (x) 的解析式; (3)解关于 x 的不等式 ?1 ? f (x ?1) ? 4 ,结果用集合或区间表示.

广州六中 2012 年高一数学期末考试题答案

一、选择题:( 8? 5? ? 40? )

题号 1

2

3

4

5

6

7

8

答案 D

B

C

A

B

A

C

D

二、填空题( 6? 5? ? 30? )

9、10; 10、 45 ; 11、x-7y=0 或 x-y-6=0.

12、 1 ; 6

13、 214;

部分解析

14、 0 ? k ? 1或1 ? k ? 4

2. 【 解 析 】 函 数 f (x) ? 2 x ? x3 ? 2 单 调 递 增 , 又 f (0) ? 1 ? 2 ? ?1 ? 0 ,

f (1) ? 2 ? 1 ? 2 ? 1 ? 0 ,所以根据根的存在定理可知在区间 (0,1) 内函数的零点个数为 1 个,
选 B.
4.【解析】由 x ? 2 ? 3 ,得 ? 3 ? x ? 2 ? 3 ,即 ? 5 ? x ? 1,所以集合 A ? {x ?5 ? x ? 1} ,

因为 A ? B ? (?1,n) ,所以 ?1是方程 (x ? m)(x ? 2) ? 0 的根,所以代入得 3(1 ? m) ? 0 ,

所以 m ? ?1 ,此时不等式 (x ? 1)(x ? 2) ? 0 的解为 ?1 ? x ? 2 ,所以 A ? B ? (?1,1) ,即 n ? 1。 5. 【解析】设点 P 的坐标是 (x, y) .由 PA ? 2 PB ,得 (x ? 2)2 ? y 2 ? 2 (x ?1)2 ? y 2 ,

化简得 (x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,∴点 P 的轨迹是以(2,0)为圆心,2 为半径的圆,∴所求面积为
4? ,故选(B).
7. 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥,如图所示。本题所求表面积应为三 棱锥四个面的面积之和,利用垂直关系和三角形面积公式,可得:
S底 ? 10 , S后 ? 10 , S右 ? 10 , S左 ? 6 5 ,因此该几何体表面
积 S ? S底 ? S后 ? S右 ? S左 ? 30 ? 6 5 ,故选 C。 8.【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象,当 a ? 0 时,
要想满足条件,则有如图做出点 A 关于原点的对称点 C,则 C 点坐
标 为 (?x1,? y1) , 由 图 象 知 ? x1 ? x2,? y1 ? y2, 即
x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,同理当 a ? 0 时,则有 x1 ? x2 ? 0, y1 ? y2 ? 0 ,故答案选 D.
11.【解析】当直线 l 经过原点时,直线 l 在两坐标轴上截距均等于 0,故直线 l 的斜率为17, ∴ 所求直线方程为 y=17x,即 x-7y=0.当直线 l 不过原点时,设其方程xa+yb=1,

由题意可得 a+b=0, ① 又 l 经过点(7,1),有7a+1b=1,



由① ② 得 a=6,b=-6,则 l 的方程为 x6+-y6=1,即 x-y-6=0.

故所求直线 l 的方程为 x-7y=0 或 x-y-6=0.

12【. 解析】法一:因为 E 点在线段

AA1 上,所以 S?DED1

?

1 2

?1?1 ?

1 2

,又因为 F

点在线段 B1C

上 , 所 以 点 F 到 平 面 DED1 的 距 离 为 1, 即 h ? 1 , 所 以

VD1 ? EDF

? VF ? DED1

?

1 3

?

S

?D

ED1

?h

?

1 ? 1 ?1? 32

1 6

.

法二:使用特殊点的位置进行求解,不失一般性令 E 点在 A 点处, F 点在 C 点处,则

VD1 ? EDF

? VD1 ? ADC

?

1 3

?

S

?ADC

? DD1

?

1 ? 1 ?1?1?1 ? 32

1。 6

x2 ?1 (x ?1)(x ? 1)

14. 【解析】解:函数 y ?

?

,当 x ? 1时,

x ?1

x ?1

x2 ?1

y?

? x ?1 ? x ?1,

x ?1

当 x ? 1时, y ?

x2 ?1 x ?1

?

?

x

?1

?

?? ??x

x ?1,?1 ? x ? 1, x ? ?1

?

1,

综上函数 y ?

x2 ?1 x ?1

?x ?1,x ? 1 ? ???x ?1, ?1 ? x ? 1 ,做出函数的图象(蓝
??x ?1, x ? ?1

线),

要使函数 y 与 y ? kx ? 2 有两个不同的交点,则直线 y ? kx ? 2 必须在四边形区域

ABCD 内和直线 y ? x ? 1 平行的直线除外,如图,则此时当直线经过 B(1,2) ,k ? 2 ? (?2) ? 4 , 1? 0
综上实数的取值范围是 0 ? k ? 4 且 k ? 1 ,即 0 ? k ? 1 或1 ? k ? 4 。
三、解答题

15 解:由题意得?????x3+ x-y+ y+1= 4=0, 0,

??x=-54, 解得???y=14,

即平行四边形给定两邻边的顶点为为???-54,14???. 又对角线交点为 D(3,3),则此对角线上另一顶点为???249,243???. ∵另两边所在直线分别与直线 x+y+1=0 及 3x-y+4=0 平行,
∴它们的斜率分别为-1 及 3,

即它们的方程为 y-243=-???x-249???,及 y-243=3???x-249???, ∴另外两边所在直线方程分别为 x+y-13=0 和 3x-y-16=0.
16.证明:(1)在△PAD 中,因为 E、F 分别为
AP,AD 的中点,所以 EF//PD.
又因为 EF ? 平面 PCD,PD ? 平面 PCD,
所以直线解E:F(//平1)面当PCxD.≤ 6时, y ? 50x ?115,令50x ?115 ? 0, 解得x ? 2.3.
( 所2以)△连解A解B结:D(:D为(B1, 正)1因 三当)x 为 角?当x形N≤ ABx,*=6,≤ A?因时D,为6x, ∠y时≥F?B是,3A5Dy,?0=A?D6x03的?°5≤10,1x5x,?≤令116550, x,x令??1N5105*.x??01, 解15得?x0?, 解2.3得. x ? 2.3. 中 AB点 CD,,解B所F解:以?(:平(B11F当x面)⊥)1?)xA当A当NDB?当?.C*x因Dx6,N?x,≤时≤为≤ *平x,6平?,6≥时 面6y时面时x?3,P,,P≥ Ay,?[yADy5?D?330?⊥?5,≤平??55平0003面xx面3x(x?≤x≤ A??1B?611Cx,D1516x=5,5≤ )A令 ?,],D令x令,6N5?,5所0*51x.0x0以1?x?x5?B1.?NF111⊥1*51.5平?5?面0?0,0,解 P解A,D解得。得得又xx?因x?2为?2.3.23B.F..3?. 平面 BEF, 所1以7.平解面解:: B(E( 当F1⊥当令)1xxx) 平?x?当[x?5?面当 6N?0N时xNP*?6≤ x*,A,*?,时3D?y≤ ,?.6(?x,x时x6x≥ y[?≥时 5≥,?063y3,,)3?[??],y5,??3x053(??3x03≤ ?51?x≤≤301?x6(5xxx)1≤x]??≤≤ 1x?651?06,6,61,1令x,),有51x]x?,5x5?令 3?.N0?xNNx*521.*?01?*..1x561.?85x1?1?501,1?解50得 ?, 解0x.得 ? 2x.3?. 2.3.
令 上当令 当令当?当上令 上令[x述[x5[xx5?x65[x0述 [?述不?05?05???N?06?06?不等不N3时6*6?x时3?(,3时 时?*(≤ x3式等,(等,3x,(??xy,,(yxx的?2式yy?6x式?≥ ?0?x6)?整?6?[](的6)≥ [5的x3)[]x5)6[50]x数,]?5??整 0x)30x整 ??1]0,解 ????N?x3113数?1513数13(≤ ?*为31x1(35()?解1xx55(, ≤ ?解2x?10x????为≤6≤ ,50?有 为x66)0,0]?)2有x)66≤ ,x,]3]2有有,≤≤ x)0x?x3x]≤6?,2x?31x3?2有,x?1x121?0xxx1≤25N6?1(231?5.x?≤ 85?*6x1.2?x..6N825602?8xN.?8*(0x1.?xx*61(?)1?x?5,811?x1?1N515?0*N?5.)?1,0*?10).5,.0.? 0. )日3所 2?≤ ?对 显 7当 租对以 011于 然 x金(18x于元 当 55≤?当 定y?( y每 )16.在?x??,1元辆x35??12时 ) (?0自 173x,6x元 N0x,时 ?行 (?y2( ?*(时3(m)1车 ,?3214a2,1y(2,x) 286)) 的)5m)所 258?所 2才(a所 对 ,显 对 ?当 日 显 )对对 3xx当 显对 对 当显 对当 2对 以 以 能 所以 ?≤ 8?于 7于 对然 于然 租 显然于 当然 对xxx于 于 31于x于 01当 故 定 以?使 故定?当 1当当 令 上故 定?故定?上1于上?然x当 ?当金 故 定 ??(18当 ?当 令 上 xyy故 定故 定 ?于故 定 ?yy义上6yy义元 一 当每 6y(每 y5y义每 [x56述y≤ 义1161述 y61?当5?义 述 y?定 6??y义义 [x??x6??域义述 yx?16?1?1域y?每日 述 y?xy??( 辆 0辆 域 y?51?)域1?不 ?辆 5?556不?x?域 ?.???在 ?不域??????为0x?x域???65?时?1域x时 ?????时 为?0不 ??辆的 ?????0为x不 0,?自 自 元 ≤5?????为时 ?x时 33x5≤ 35x等0??6自 ≤?????563?为 x等??????为6x?{3xx?????0为≤ x5等 时3?3?????为x{,≤ 0x0,时1自时 {净 x63,(≤ ≤ 02行 55时 等等 ??3行 xx) 2(53{3??,x0?x?≤ 35yx?26?2y1xx2,式xx{x时 2y2x0{式行 0730xx, {3y(0x|22x,式 3?x时{mxm0?行1收 01车 ,3?2x,0?|2my22式?3x1车 x|(22?x,x式 ?元 N0?xxx?0y2xax?a|32x?1(213的y1?yx(x0a0的xm?x|x2110≤ 车 y?,??316|m626(x?11的 车|x2入 ,??的 1x?6?630?5m*(5≤ m的 ,?≤ 的 |21[a3时 ?(?5x3m3的 a118?y)8?1161?y5≤ 6x)??8x53整?xx(8?((13整a6≤ a16]1x6x?61(的 的5a4最 1≤ 日 ?58≤ 31整 Nx36xx8x55mm0xx, ?x整日 1x)1?32xx2x6≤ 5, 68?88??≤N5整 8N82x(1x)a]6x(数??≤≤ 数 ??a?*?5x??5778N日8(≤ 租 多 ≤ 3xxx?≤ N?日 x25数 3xx)x75xx数28N租 ?3*?*≤1才 N0101(2(≤2111xxx3数 ,)?≤,)??*?01?N解解 *3371(≤ ≤ x1≤ 租1x?1金 ≤ . ?(18(108212()*7),,租 ?解 ?3*≤ x解金 元 (118元01(5(能 11≤ ≤ 125,5)x55005≤ ?≤*,),8元 013解 3(1为为 x金15.x1定 ≤ 1≤ (1585x5≤ 20)21,,3?, 31元 1x为 为 ??定 金 ( ?((1812≤ 55)1≤ 使 )?5xx,0≤x≤ ,05x66?( (.元 2.定在 121≤ 为 )6x550x55,?≤ 0,?66?≤?,≤?,.(2元 N在 2元?)(5)定 (≤一 x,≤ ?(6xx,6≤ ?xx,x≤.36元 ]在36?(?≤2N( 6有x≤ N*,1x)??2xx,2660?≤ ) 元(36?)6(}≤ ?6Nx(?1N.日 在 ?x(1x?≤ x6x27*x,, 37,≤ x6,) ?*,.(??6??6,3}(1x?N1?元 2}有 x*,xN)≤ 元 N0x(7?≤ N0x*, ,≤6x?6}6x?11.x的 xxN}.?3≤ 7x,?x?xx≤ 元 N0*x,?N6.x1*≤ ,1??*22?≤ *.}?时 元N) 03?(3?22x}3??2)≤*,x≤ )1x≤ 53净 *N3≤??*.x271Nx, }004x1时 .430x2?, )?*N2,.)?, x时2≤033,N8,(.元 2N0≤ *86))1(204)*30??收 , 2x20(x21)4*25N≤ , x)825?,0(8N,*,才 x,)),0,0??208*?,)?x),,时 x,?x2N?325*x入 ?6),(,025,才 *x32)能 ?0?N才1,?N4?xx)?88,x,*N,, 8??0N, ,,最 )8x311*?能 ?x)3*1NN使 ?x能,8,*N)8)*N1125?1.)x?,31)?*才 多 *NN315,使 *一 ,(,N使)*?)(?11)N16.),*6?*N.. .能 1一 *日 )(一)(8*?N.?)65,06*).31).的 日 .日使 *x???.x1)≤ .净 的 的≤0一 xx(.6收 ≤≤ 2净净2日0?0入收2,收 2,的 x0x0x最入入 ,?,?≤ 净 xx多最N最?N?收 . 2多*多 *N)0N).入 ..*,.*)x).最.?多N.* ).

18 (Ⅰ所)以解当:每在辆四自棱行锥车P的? 日AB租CD金中定,在因11PA元?时底,面才A能BC使D一,日A的B 净? 收平 面入最AB多CD., 故

PA ? AB .又 AB ? AD , PA AD ? A ,从而 AB ? 平面 PAD .P

故 PB 在平面 PAD 内的射影为 PA ,

M

从而∠APB 为 PB 和平面 PAD 所成的角.

E

在 Rt△PAB 中, AB ? PA,故∠APB ? 45 .

A

D

所以 PB 和平面 PAD 所成的角的大小为 45 .

B

C

(Ⅱ)证明:在四棱锥 P ? ABCD 中, 因 PA ? 底面 ABCD , CD ? 平面 ABCD ,故 CD ? PA . 由条件 CD ? AC , PA AC ? A ,?CD ? 面 PAC .又 AE ? 面 PAC ,? AE ? CD .

由 PA ? AB ? BC ,∠ABC ? 60 ,可得 AC ? PA . E 是 PC 的中点,? AE ? PC ,
? PC CD ? C .综上得 AE ? 平面 PCD . (Ⅲ)解:过点 E 作 EM ? PD ,垂足为 M ,连结 AM .由(Ⅱ)知, AE ? 平面 PCD , AM 在平面 PCD 内的射影是 EM ,则 AM ? PD .
因此∠AME 是二面角 A ? PD ? C 的平面角.由已知,得∠CAD ? 30 .设 AC ? a ,得

PA ? a , AD ? 2 3 a , PD ? 21 a , AE ? 2 a .

3

3

2

在 Rt△ADP 中, AM ? PD , AM ? PD ? PA ? PD ,则

AM

?

PA ?

AD

?

a.

23 3

a

?

2

7 a .在 Rt△AEM 中, sin AME ? AE ?

14

PD

21 a

3

AM 4

3

19 解:(1)由题意,得||MM12MM||=5.

(x ? 26)2 ? ( y ?1)2 (x ? 2)2 ? ( y ?1)2

? 5 ,化简,得 x2+y2-2x-2y-23=0.即

(x-1)2+(y-1)2=25.∴点 M 的轨迹方程是(x-1)2+(y-1)2=25,轨迹是以(1,1)为圆心,以 5 为半径的圆.

(2)当直线 l 的斜率不存在时,l:x=-2,此时所截得的线段的长为 2 52-32=8,∴l:x=- 2 符合题意.当直线 l 的斜率存在时,设 l 的方程为 y-3=k(x+2),即 kx-y+2k+3=0,圆
心到 l 的距离 d= |3kk+ 2+21| ,由题意,得??? |3kk+ 2+21|???2+42=52,解得 k=152.∴直线 l 的方程为152x
-y+263=0.即 5x-12y+46=0.综上,直线 l 的方程为 x=-2,或 5x-12y+46=0.

20.解 (1)∵f(x)是奇函数,∴f(-2)=-f(2),即 f(2)+f(-2)=0. (2)当 x<0 时,-x>0,∴f(-x)=a-x-1. ∵f(x)是奇函数,有 f(-x)=-f(x),∴f(x)=-a-x+1(x<0).

∴所求的解析式为 f(x)=?????a-x-a-1x+

x x

.

(3)不等式等价于?????x--11<<-0a-x+1+1<4 或?????x--11<≥a0x-1-1<4 ,

即?????x--31<<a0-x+1<2 或?????x0-<a1x-≥10<5 .

当 a>1 时,有?????xx><11-loga2 或?????xx≥<11+loga5 ,注意此时 loga2>0,loga5>0, 可得此时不等式的解集为(1-loga2,1+loga5). 同理可得,当 0<a<1 时,不等式的解集为 R. 综上所述,当 a>1 时,不等式的解集为(1-loga2,1+loga5);当 0<a<1 时,不等式的解集为 R.



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