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2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学第七章不等式_推理第39讲 简单不等式及其解法

第 39 讲 简单不等式及其解法

【学习目标】

夯实基础 【p83】

1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

2.结合“三个二次”之间的联系,掌握一元二次不等式的解法.

3.熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式、指数不等式和对数不等式的解法. 【基础检测】

1.若集合 A={x||2x-1|<3},B=???x|23x-+x1<0???,则 A∩B=(

)

A.???x|-1<x<12或2<x<3???

B.{x|2<x<3}

C.???x|-12<x<2???

D.???x|-1<x<-12???

【解析】∵A={x||2x-1|<3}={x|-3<2x-1<3}={x|-1<x<2},

B=???x|23x-+x1<0???={x|(2x+1)(x-3)>0}=???x|x>3或x<-12???,
∴A∩B=???x|-1<x<-12???. 【答案】D

2.设函数 f(x)=???211--xl,ogx2x≤,1x,>1,则满足 f(x)≤2 的 x 的取值范围是(

)

A.[-1,2] B.[0,2]

C.[1,+∞) D.[0,+∞)

【解析】当 x≤1 时,f(x)≤2 化为 21-x≤2,解得 0≤x≤1;

当 x>1 时,f(x)=1-log2x<1<2 恒成立.
故 x 的取值范围是[0,+∞). 【答案】D 3.关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为(x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( )
15 7 5 15 A. 4 B.2 C.2 D. 2 【解析】因为 x2-2ax-8a2<0(a>0),

所以(x+2a)(x-4a)<0(a>0),

即-2a<x<4a,

又|x1-x2|=15,
所以 6a=15, 解得 a=52. 【答案】C

4.关于 x 的不等式 x2-2kx+k2+k-1>0 的解集为{x|x≠a,x∈R},则实数 a=________. 【解析】因为关于 x 的不等式 x2-2kx+k2+k-1>0 的解集为{x|x≠a,x∈R},

所以 Δ=(-2k)2+4(k2+k-1)=0,所以 4k-4=0,

所以 a=k=1.

【答案】1 5.若关于 x 的不等式 5x2-a≤0 的正整数解是 1,2,3,则实数 a 的取值范围是 ____________.

【解析】关于 x 的不等式 5x2-a≤0 的正整数解是 1,2,3,所以 a>0,可得- a5≤x≤ a5,

所以 3≤ a5<4,可得 45≤a<80,即实数 a 的取值范围是[45,80).

【答案】[45,80)

【知识要点】

1.一元一次不等式 一元一次不等式 ax>b(a≠0)的解集为:

(1)a>0 时,__x∈???x??x>ba???__; (2)a<0 时,__x∈???x??x<ba???__.
2.一元二次不等式 一元二次不等式 ax2+bx+c>0(a>0)或 ax2+bx+c≤0(a>0)的解集的各种情况如下表

判别式

Δ =b2-4ac

Δ>0

Δ=0

Δ<0

二次函数

y=ax2+bx+c(a>0) 的图象

一元二次方程 ax2+ bx+c=0(a>0)的根
ax2+bx+c>0(a>0)的 解集

有两相异实根 x1, x2(x1<x2)
__{x|x<x1 或 x>x2}__

有两相等实根 x1=x2 =-2ba
{x|x≠

-2ba???

__R__

ax2+bx+c≤0(a>0) 的解集

__{x|x1≤x≤x2}__

3.简单指数不等式 不等式 af(x)>ag(x)

(1)当 a>1 时,等价于__f(x)>g(x)__;

(2)当 0<a<1 时,等价于__f(x)<g(x)__.

4.简单对数不等式

不等式 logaf(x)>logag(x) (1)当 a>1 时,等价于__f(x)>g(x)>0__;

(2)当 0<a<1 时,等价于__g(x)>f(x)>0__.

__???-2ba???__

无实根 ?

典 例 剖 析 【p83】

考点 1 一元二次不等式的解法

例1解下列不等式: (1)-3x2-2x+8≥0; (2)0<x2-x-2≤4.
【解析】(1)原不等式可化为 3x2+2x-8≤0,

即(3x-4)(x+2)≤0.

解得-2≤x≤43, 所以原不等式的解集为???x|-2≤x≤43???.

(2)原不等式等价于

??x2-x-2>0, ??x2-x-2>0,

?

??

??x2-x-2≤4, ??x2-x-6≤0,

??(x-2)(x+1)>0, ??x>2或x<-1,

??

??

??(x-3)(x+2)≤0, ??-2≤x≤3.

借助于数轴,如图所示,

所以原不等式的解集为{x|-2≤x<-1 或 2<x≤3}. 【点评】解一元二次不等式的四个步骤: (1)化:把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式,如例 1 中(1)小题; (2)判:计算对应方程的判别式; (3)求:求出对应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程有没有实根; (4)写:利用“大于取两边,小于取中间”写出不等式的解集.

考点 2 简单指数、对数及分式不等式的解法

例2(1)不等式2x3+x 1≤1 的解集为( )

A.(-∞,1] B.??-12,1??

C.??-12,1?? D.??-∞,-12??∪[1,+∞)

【解析】由题可知:

3x -1≤0, 2x+1

3x2-x+2x- 1 1≤0??????(2xx+-11≠)0(2x+1)≤0,?-12

<x≤1.

【答案】C

(2)已知 f(x)=logax(a>0,a≠1),且当 x<0 时,ax>1,则 f??1-1x??>1 的解集是________.

【解析】∵x<0 时,ax>1,∴0<a<1.

??? f??1-1x??>1?loga??1-1x??>logaa?

1-1x>0, 1-1x<a,

??? ? 1x1x<>11,-a,?1-a<1x<1?1<x<1-1 a.

【答案】???1,1-1 a???

(3)函数 f(x)=???xex3--98((xx<≥00)),,g(x)=3x-1,则不等式 f[g(x)]≥0 的解集为(

)

A.[1,+∞)

B.[ln 3,+∞)

C.[1,ln 3]

D.[log32,+∞)

【解析】显然函数 f(x)在定义域范围内是增函数,且 f(2)=0,不等式 f[g(x)]≥0 化为

f[g(x)]≥f(2),从而有 g(x)≥2,即 3x-1≥2,得 x≥1. 【答案】A

【点评】应用指数函数、对数函数的单调性解有关指数、对数不等式问题,在高考中也

时有出现,其题型特征是以函数为载体,将问题转化为简单指数、对数不等式求解.

考点 3 含参一元二次不等式的解法

例3已知关于 x 的不等式 ax2-(a-1)x-1≥0. (1)若 a=3 时,求上述不等式的解集; (2)若 a∈R 时,求上述不等式的解集. 【解析】(1)当 a=3 时,3x2-2x-1≥0,
∴(x-1)(3x+1)≥0, ∴x≤-13或 x≥1, 故不等式的解集为???x|x≤-13或x≥1???. (2)∵ax2-(a-1)x-1≥0,
∴(x-1)(ax+1)≥0.
当 a=0 时,不等式可化为 x-1≥0,解得 x≥1. 当 a>0 时,(x-1)(ax+1)=0 的两根 x1=-1a<0,x2=1, ∴x≤-1a或 x≥1; 当 a<0 时,若-1a=1,即 a=-1 时,不等式等价于-(x-1)2≥0,解得 x=1; 若-1a>1,即-1<a<0,则 1≤x≤-1a; 若-1a<1,即 a<-1,则-1a≤x≤1. 综上所述,当 a=0 时,不等式的解集为{x|x≥1};

当 a>0 时,不等式的解集为???x|x≤-1a或x≥1???; 当 a<-1 时,不等式的解集为???x|-1a≤x≤1???; 当 a=-1 时,不等式的解集为{x|x=1}; 当-1<a<0 时,不等式的解集为???x|1≤x≤-a1???. 【点评】含有参数的不等式的求解,往往需要对参数进行分类讨论. (1)若二次项系数为常数,首先确定二次项系数是否为正数,再考虑分解因式,对参数 进行分类讨论,若不易分解因式,则可依据判别式符号进行分类讨论; (2)若二次项系数为参数,则应先考虑二次项系数是否为零,确定不等式是不是二次不 等式,然后再讨论二次项系数不为零的情形,以便确定解集的形式; (3)对方程的根进行讨论,比较大小,以便写出解集.
考点 4 含参不等式恒成立问题
角度一:形如 f(x)≥0(f(x)≤0)(x∈R)确定参数的范围 例4已知不等式 mx2-2x-m+1<0,是否存在实数 m 对所有的实数 x,不等式恒成立? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【解析】要使不等式 mx2-2x-m+1<0 恒成立, 即函数 f(x)=mx2-2x-m+1 的图象全部在 x 轴下方. 当 m=0 时,1-2x<0,则 x>12,不满足题意; 当 m≠0 时,函数 f(x)=mx2-2x-m+1 为二次函数, 需满足开口向下且关于 x 的方程 mx2-2x-m+1=0 无解,
??m<0, 即?
??Δ=4-4m(1-m)<0,
不等式组的解集为空集,即 m 无解. 综上可知,不存在这样的实数 m 使不等式恒成立. 角度二:形如 f(x)≥0(x∈[a,b])确定参数范围 例5设函数 f(x)=mx2-mx-1(m≠0),若对于 x∈[1,3],f(x)<-m+5 恒成立,求 m 的取值范围. 【解析】要使 f(x)<-m+5 在[1,3]上恒成立, 则 mx2-mx+m-6<0,
即 m??x-12??2+34m-6<0 在 x∈[1,3]上恒成立.
有以下两种方法:
法一:令 g(x)=m??x-12??2+34m-6,x∈[1,3].
当 m>0 时,g(x)在[1,3]上是增函数, 所以 g(x)max=g(3)=7m-6<0, 所以 m<67,则 0<m<67;

当 m<0 时,g(x)在[1,3]上是减函数,
所以 g(x)max=g(1)=m-6<0, 所以 m<6,即 m<0.
综上所述,m 的取值范围是(-∞,0)∪??0,67??. 法二:因为 x2-x+1=??x-12??2+34>0,
又因为 m(x2-x+1)-6<0, 所以 m<x2-6x+1.
因为函数 y=x2-6x+1=??x-126??2+43
在[1,3]上的最小值为67, 所以只需 m<67即可. 因为 m≠0,
所以 m 的取值范围是(-∞,0)∪??0,67??.
角度三:形如 f(x)≥0(参数 m∈[a,b])确定 x 的范围 例6对任意 m∈[-1,1],函数 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m 的值恒大于零,求 x 的取值 范围. 【解析】由 f(x)=x2+(m-4)x+4-2m =(x-2)m+x2-4x+4, 令 g(m)=(x-2)m+x2-4x+4.
由题意知在[-1,1]上,g(m)的值恒大于零,
??g(-1)=(x-2)×(-1)+x2-4x+4>0, ∴? ??g(1)=(x-2)+x2-4x+4>0,
解得 x<1 或 x>3.
故当 x∈(-∞,1)∪(3,+∞)时,对任意的 m∈[-1,1],函数 f(x)的值恒大于零.
【点评】(1)对于一元二次不等式恒成立问题,恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在
给定的区间上全部在 x 轴上方;恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在
x 轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是
主元;求谁的范围,谁就是参数. 角度四:对?x1,x2∈D 都有 f(x1)≤g(x2)?[f(x)]max≤[g(x)]min.(这里假设[f(x)]max,[g(x)]min
存在) 例7已知函数 f(x)=x2-2x+3,g(x)=log2x+m,对?x1,x2∈[1,4]有 f(x1)>g(x2)恒成立,
求实数 m 的取值范围. 【解析】f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
当 x∈[1,4]时,[f(x)]min=f(1)=2,[g(x)]max=g(4)=2+m. 由题意得,[f(x)]min>[g(x)]max,则 2>2+m.

∴m<0. 角度五:?x1∈D1,?x2∈D2,使 f(x1)≥g(x2)?[f(x)]min≥[g(x)]min.(这里假设[f(x)]min, [g(x)]min 存在).
例8已知 f(x)=ln(x2+1),g(x)=??12??x-m,若?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使 f(x1)≥g(x2),
求实数 m 的取值范围. 【解析】当 0≤x≤3 时,[f(x)]min=f(0)=0, 当 1≤x≤2 时,[g(x)]min=g(2)=14-m, 由题意:则[f(x)]min≥[g(x)]min,0≥14-m, ∴m≥14.
方 法 总 结 【p85】 1.解一元一次不等式 ax>b(a≠0)的实质就是由不等式性质将不等式两边同乘以1a,并注 意由 a 的取值的正负确定不等式的解. 2.解一元二次不等式的基本思想是: (1)解一元二次不等式主要采用判别式法、求根法,应结合上表深刻理解不等式 ax2+bx +c>0(a≠0)的解集与对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根以及二次函数 f(x)=ax2 +bx+c(a≠0)的图象之间的关系. (2)解一元二次不等式要注意密切联系一元二次方程、二次函数的图象,一元二次方程 的根就是二次函数与 x 轴交点的横坐标,对应不等式的解集就是使函数图象在 x 轴上方或下 方的部分所对应的 x 的集合,方程的根就是不等式解集区间的端点. 3.解指数、对数不等式既要运用相应的指数、对数函数的单调性,又要注意化异底为 同底和定义域优先原则.
走 进 高 考 【p85】 1.(2015·江苏)不等式 2x2-x<4 的解集为________. 【解析】因为 2x2-x<4=22,所以 x2-x<2,解得-1<x<2,故不等式的解集为(-1,
2).
【答案】(-1,2) 2.(2016·全国卷Ⅰ)设集合 A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则 A∩B=( ) A.(-3,-32) B.(-3,32) C.(1,32) D.(32,3)
【解析】由题意得,A=|x|1<x<3|,B={x|x>32},则 A∩B=??32,3??.
【答案】D
考 点 集 训 【p219】 A 组题
1.设集合 M={x|x2-x-2>0},N={x|1≤2x-1≤8},则 M∩N=( ) A.(2,4] B.[1,4] C.(-1,4] D.[4,+∞) 【解析】解集合 M=(-∞,-1)∪(2,+∞),

对于集合 N,将不等式化为 20≤2x-1≤23,解得 1≤x≤4,

所以集合 N=[1,4],

所以 M∩N=(2,4].

【答案】A

2.不等式(xx-+15)2≥2 的解集是(

)

A.??-3,21?? B.??-12,3??

C.??12,1??∪(1,3] D.??-12,1??∪(1,3]

x+5

(x+5)-2(x-1)2

2x2-5x-3

【解析】(x-1)2≥2?

(x-1)2

≥0? (x-1)2 ≤0,转化为乘法的等价

形式 2x2-5x-3≤0,且 x-1≠0,故-12≤x≤3,且 x≠1. 【答案】D 3.不等式 2x2-4x>22ax+a 对一切实数 x 都成立,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,4) B.(-4,-1) C.(-∞,-4)∪(-1,+∞) D.(-∞,1)∪(4,+∞)
【解析】∵不等式 2x2-4x>22ax+a 对一切实数 x 都成立,

∴x2-4x>2ax+a 对一切实数 x 都成立,即 x2-(4+2a)x-a>0 对一切实数 x 都成立.

∴Δ=(4+2a)2-4×(-a)<0,即 a2+5a+4<0.

∴-4<a<-1,

∴实数 a 的取值范围是(-4,-1).
【答案】B
4.设函数 f(x)=ax2-2x+2,对任意的 x∈(1,4)都有 f(x)>0,则实数 a 的取值范围是( )
A.[1,+∞) B.??12,1??
C.??12,+∞?? D.??12,+∞?? 【解析】∵对任意的 x∈(1,4),都有 f(x)=ax2-2x+2>0 恒成立,可知 a≠0,

( ) 2
∴a>

x-1 x2

=2???14-??1x-21??2???,对任意的 x∈(1,4)恒成立,

∵14<1x<1,∴2???14-??1x-21??2???∈??0,12??,

∴实数 a 的取值范围是??12,+∞??.

【答案】D

5.关于 x 的不等式 ax2+bx+2>0 的解集是??-12,13??,则 a+b 的值是________.

【解析】由题意知-12,13是方程 ax2+bx+2=0 的两根,

?-21×31=2a, ? 则
?-12+13=-ab,

??a=-12, 解得?
??b=-2,

所以 a+b=-14.

【答案】-14

6.已知不等式??2n0-m??ln??mn??≥0 对任意正整数 n 恒成立,则实数 m 的取值范围是

________.

? ? 2n0-m≥0, 2n0-m≤0,

? ? 【解析】由题意,



? ? ln??mn??≥0

ln??mn ??≤0,

? ? m≤2n0, m≥2n0, ∴??mn≥1 或??0<mn≤1.

∴n≤m≤2n0或2n0≤m≤n,

∵n 为正整数,∴n=4 或 5,∴4≤m≤5.
【答案】[4,5] 7.若不等式 ax2+bx+c<0 的解集为???x|x<31或x>12???. (1)求 a∶b∶c 的值; (2)求不等式 cx2-bx+a>0 的解集. 【解析】(1)由已知,-ba=56,ac=16,且 a<0,则 b=-56a,c=16a,所以 a∶b∶c=6∶(- 5)∶1.
(2)由(1)知不等式 cx2-bx+a>0 可化为 x2+5x+6<0,解得-3<x<-2. 8.已知 f(x)=ax2+x-a,a∈R. (1)若 a=1,解不等式 f(x)≥1; (2)若不等式 f(x)>-2x2-3x+1-2a 对一切实数 x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)若 a<0,解不等式 f(x)>1.
【解析】(1)当 a=1,不等式 f(x)≥1 即 x2+x-1≥1,

即(x+2)(x-1)≥0,解得 x≤-2,或 x≥1,

故不等式的解集为{x|x≤-2,或 x≥1}.

(2)由题意可得(a+2)x2+4x+a-1>0 恒成立,

当 a≤-2 时,显然不满足条件,

??a+2>0, ∴? ??Δ=16-4(a+2)(a-1)<0,

解得 a>2,故 a 的取值范围是(2,+∞).

(3)若 a<0,不等式为 ax2+x-a-1>0,

即(x-1)???x+a+a 1???<0.

∵1-???-a+a 1???=2aa+1,

∴当-12<a<0 时,1<-a+a 1,不等式的解集为?????x|1<x<-a+a 1?????;
当 a=-12时,1=-a+a 1,不等式即(x-1)2<0,它的解集为?;
当 a<-12时,1>-a+a 1,不等式的解集为?????x|-a+a 1<x<1?????. B 组题
1.若关于 x 的不等式 x2+ax-2>0 在区间[1,5]上有解,则实数 a 的取值范围是( )
A.??-253,+∞?? B.??-253,1??
C.(1,+∞) D.(-∞,-1) 【解析】原不等式可变形为 a>-xx2+2=-x+2x, -x+2x在区间[1,5]上为减函数,当
x=1 时,值为 1,当 x=5 时,值为-253,由于题目是存在性问题,故 a>-253. 【答案】A 2.已知函数 f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a∈R,b∈R),对任意实数 x 都有 f(1-x)=f(1
+x)成立,当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是( ) A.-1<b<0 B.b>2 C.b<-1 或 b>2 D.不能确定 【解析】由 f(1-x)=f(1+x)知 f(x)图象的对称轴为直线 x=1,则有a2=1,故 a=2.
由 f(x)的图象可知 f(x)在[-1,1]上为增函数.
∴x∈[-1,1]时,f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1=b2-b-2,
令 b2-b-2>0,解得 b<-1 或 b>2. 【答案】C 3.已知函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于 x 的不等式 f(x)<c 的 解集为(m,m+6),则实数 c 的值为________. 【解析】由题意知 f(x)=x2+ax+b
=??x+a2??2+b-a42.
∵f(x)的值域为[0,+∞), ∴b-a42=0.
∴f(x)=??x+a2??2. 又∵f(x)<c,∴??x+a2??2<c,
即-a2- c<x<-a2+ c.
?-a2- c=m,① ?∴ ?-a2+ c=m+6.②
②-①,得 2 c=6,∴c=9. 【答案】9

4.已知函数 f(x)=x2+x 6,g(x)=x2+2mx+1113. (1)若 f(x)>k 的解集为{x|x<-3 或 x>-2},求 k 的值; (2)求函数 g(x)在[2,4]上的最小值 h(m); (3)对于?x1∈[2,4],?x2∈[2,4],使 f(x1)≥g(x2)成立,求实数 m 的取值范围. 【解析】(1)由 f(x)>k 得x2+x 6>k,整理得 kx2-x+6k<0,
因为不等式的解集为{x|x<-3 或 x>-2},
所以方程 kx2-x+6k=0 的两根是-3,-2; 由根与系数的关系得-3+(-2)=1k,即 k=-15; (2)g(x)=x2+2mx+1113的对称轴方程为 x=-m, ①当-m≤2,即 m≥-2 时,g(x)在[2,4]上是单调增函数,g(x)min=g(2)=4+4m+1113= 5117+4m,故 h(m)=5117+4m;
②当 2<-m<4,即-4<m<-2 时,g(x)在[2,-m]上是单调减函数,在[-m,4]上是单 调增函数,g(x)min=g(-m)=-m2+1113,故 h(m)=-m2+1113;
③当-m≥4,即 m≤-4 时,g(x)在[2,4]上是单调减函数,g(x)min=g(4)=16+8m+1113 =8m+11819,故 h(m)=8m+11819;
??5117+4m,m∈[-2,+∞), ? 所以 h(m)= -m2+1113,m∈(-4,-2),
??8m+11819,m∈(-∞,-4].
(3)因为函数 f(x)在区间[2, 6]上为增函数,在区间[ 6,4]上为减函数, 其中 f(2)=15,f(4)=121<15,所以函数 f(x)在[2,4]上的最小值为 f(4)=121.
对于?x1∈[2,4],?x2∈[2,4],使 f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[2,4]上的最小值不大于 f(x) 在[2,4]上的最小值121,
由(2)知 ①m≥-2 时,g(x)min=g(2)=4+4m+1113≤121, 解得 m≤-54,所以-2≤m≤-54; ②当-4<m<-2 时,g(x)min=g(-m)=-m2+1113≤121,
解得 m≥1 或 m≤-1,所以-4<m<-2; ③当 m≤-4 时,g(x)min=g(4)=16+8m+1113≤121, 解得 m≤-187,所以 m≤-4.
综上所述,m 的取值范围是??-∞,-54??.




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