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2012年-2013年中国科学院大学概率论与数理统计考研真题试题试卷汇编

芝士传媒 × 题源库 www.zhishi360.com ...让知识更美味... 目 录 2012 年中国科学院大学概率论与数理统计考研真题试题试卷·····································2 2013 年中国科学院大学概率论与数理统计考研真题试题试卷·····································5 第 1 页,共 6 页 芝士传媒 × 题源库 www.zhishi360.com ...让知识更美味... 中国科学院研究生院 2012 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:概率论与数理统计 考生须知: 1.本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟. 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效. 1(每小题 10 分,共 20 分) 有一个均匀对称的骰子,每面被涂成白色或黑色, 抛掷后出现白色的概率为 为止.问: (a) 上述骰子只需被抛掷最多 3 次的概率是多少? (b) 以 X 记骰子需要被抛掷的次数, X 的期望是多少?(请给出详细计算步 骤) p ( 0 ? p ? 1 ),现在抛掷这枚骰子,直到出现白色 2(每小题 10 分,共 20 分) 设平面上有无数条距离为 1 的等距平行线,随机 地向平面投掷一根长度为 l (l ? 1) 的针, 记 X 为针的中心与最靠近它的平行线 1 之间的距离, ? 为针与最靠近它的平行线的夹角, X 服从 [0, ] 上的均匀分布, 2 ? 服从 [0, ? ] 上的均匀分布. (a) 试求针与线相交的概率; (b) 设计一个投针实验用以估计圆周率 ? . 3 (共 15 分)有一个实验需要三个步骤才能完成,第一个步骤能按时完成的概 率为 0.7,已知第一个步骤完成的条件下,第二个步骤能按时完成的概率为 0.8, 科目名称:概率论与数理统计 第1页 共3页 第 2 页,共 6 页 芝士传媒 × 题源库 www.zhishi360.com ...让知识更美味... 前两个步骤能按时完成的条件下,第三个步骤能按时完成的概率为 0.9,问前二 个步骤能按时完成,但第三个步骤却失败的概率是多少? 4 (共 15 分) 一个盒子中有 5 个红球和 8 个蓝球, 从中无放回地抽 3 个球, 设X 是 3 次中得到红球的次数, Y 是 3 次中得到蓝球的次数,试求 X 与 Y 的协方差 cov( X , Y ). 5. (共 20 分) 设 X 和 Y 是两个相互独立的服从同一指数分布(参数为 ? )的 随机变量,现记: Z? min( X , Y ) . max( X , Y ) 任意给定 c ? (0, 1), 试求概率 P( Z ? c). 6. (每小题 15 分,共 30 分) 植物学家通常假定野外每单位面积的区域上有 某种植物的个数服从泊松分布,现在考察 n 个互不叠交的面积分别为 R1 , R2, ? , Rn 的区域,假定每个单位面积上出现雪松的平均个数是 ? . (a) 试求 ? 的极大似然估计; (b) 该估计是否无偏?为什么? 7. (每小题 10 分,共 30 分)许多患者常希望医生告知药物的非专利名,以便 节省医疗开销.现有一个调查结果:有人访问了 102 名医生,其中有 47 人知道美 沙酮这一药物的非专利名.这是否说明少于一半的医生知道这一事实呢?现在作 一个检验水平为 0.01 的假设检验, 设 p 为医生中知道美沙酮的非专利名的比例. H 0 : p ? 0.5, H a : p ? 0.5. 科目名称:概率论与数理统计 第2页 共3页 第 3 页,共 6 页 芝士传媒 × 题源库 www.zhishi360.com ...让知识更美味... 问: (a)检验统计量是什么?为什么 n 充分大时它近似服从正态分布,请给出 你所知道的理由; (b) 根据调查数据,我们是否能拒绝 H 0 ? ; (提示: z 0.01 ? 2.33, 即 1 ? ? (2.33) ? 0.01, ? ( x ) 是标准正态分布函数) (c)如果实际比例是 0.4,请问犯第二类错误的概率是多少? (提示:可将 102 近似算作 10, 6 近似算作 2.45, ? (0.34) ? 0.6631 ). 科目名称:概率论与数理统计 第3页 共3页 第 4 页,共 6 页 芝士传媒 × 题源库 www.zhishi360.com ...让知识更美味... 中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目名称:概率论与数理统计 考生须知: 1.本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、 (10 分)假定通过验血可以诊断某种疾病,验血结果只有两种:阴性或阳性。 已知当结果显示为阳性时,的确患有该种疾病的概率为 0.95,而显示为阴性时, 患有该种疾病的概率为 0.02.有一个病人到某诊所看病, 他告诉医生他感觉不舒服, 医生为他做了检查并验了血,在看到验血结果之前,医生认为他患病的可能性为 0.3,问在看到验血结果为阳性时该医生应如何修改他先前的判断? 二、 (10 分)有 5 个家庭,每家有 6 个孩子,问至少有 3 家育有 4 个或更多个女孩 子的概率是多少?(假定每家的任一个孩子的性别与其他孩子的性别相互独立而 且是女孩的概率为2) 三、 (共 30 分,每小题 15 分)设一家超市买入数量为B的某种商品,这种商品的 需求量是随机的,用Y表示(Y取非负整数值) 。又假设每卖出一件这种商品,超市 盈利s元,而贮存一件所需费用为t元。 (a)试证:当Y取值为 y 时,超市在这种商品上的损失函数为: ?sy + t(B ? y), y ≤ B L(y, B) = ? ?sB


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