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10第十章无穷级数

第十章 无穷级数 【考试内容】 一、常数项级数的相关概念 1.常数项级数的定义 一般地,如果给定一个数列 u1 , u2 ,L , un ,L ,则由这数列构成的表达式 u1 ? u2 ? u3 ?L ? un ?L 叫做常数项无穷级数,简称常数项级数或级数,记为 ? ? ? ? un ,即 un ? u1 ? u2 ? u3 ?L ? un ?L ,其中第 n项un 叫做级数的一般项. n?1 n?1 2.常数项级数收敛、发散的概念 ? n ? ? 作常数项级数 un 的前 n 项和 sn ? u1 ? u2 ?L ? un ? ui , sn 称为级数 n?1 i?1 ? ?un 的部分和,当 n依次取1, 2, 3,L 时,它们构成一个新的数列 n?1 s1 ? u1, s2 ? u1 ? u2, s3 ? u1 ? u2 ? u3 ,L , sn ? u1 ? u2 ?L ? un ,L . ? ? ? ? 如果级数 un n?1 的部分和数列{sn }有极限 s ,即 lim n?? sn ? s ,则称无穷级数 un n?1 收敛,这时极限 s 叫做这级数的和,并写成 s ? u1 ? u2 ? u3 ?L ? un ?L 或者 ? ? ? ? un ? s ;如果{sn}没有极限,则称无穷级数 un 发散. n?1 n?1 3.收敛级数的基本性质 ? ? ? ? (1)如果级数 un 收敛于和 s ,则级数 kun 也收敛,且其和为 ks .一般地,级数 n?1 n?1 的每一项同乘一个不为零的常数后,它的收敛性不变. ? ? ? ? ? ? (2)如果级数 un 、 vn 分别收敛于和 s 、? ,则级数 (un ? vn ) 也收敛,且 n?1 n?1 n?1 其和为 s ?? . ? ? (3)在级数 un 中去掉、加上或改变有限项,不会改变级数的收敛性. n?1 ? ? (4)如果级数 un 收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛,且其和不变. n?1 ? ? (5)如果级数 un 收敛,则它的一般项 un 趋于零,即 lim n?? un ? 0. n?1 说明:此条件称为级数收敛的必要条件.由原命题成立逆否命题一定成立可得,如果 lim n?? un ? ? 不为零,则级数 un 一定发散. n?1 4.几个重要的常数项级数 (1)等比级数 ? ? ? ? 级数 qn ? q ? q2 ?L ? qn ?L 或 qn ? 1? q ? q2 ?L ? qn ?L n?1 n?0 称为等比级数或几何级数,其中 q 叫做级数的公比.其收敛性为:当 q ? 1时,级数收敛; 当 q ? 1时级数发散. (2)调和级数 ? 级数 ? 1 ? 1? 1 ? 1 ?L ? 1 ?L n n?1 23 n 称为调和级数,此级数是一个发散级数. (3) p 级数 ?? 1 11 1 级数 ?1? ? ?L np n?1 2p 3p ? ?L np 称为 p 级数,其中常数 p ? 0 .其 收敛性为:当 p ? 1时,级数收敛;当 p ? 1 时级数发散. 二、正项级数的审敛法 1.比较审敛法 ? ? ? ? 设 un 和 vn 都是正项级数,且存在正数 N ,使当 n ? N 时有un ? vn 成立.若 n?1 n?1 ? ? ? ? ? ? ? ? 级数 vn 收敛,则级数 un 收敛;如果级数 un 发散,则级数 vn 也发散. n?1 n?1 n?1 n?1 2.比较审敛法的极限形式 ? ? ? ? 设 un 和 vn 都是正项级数. n?1 n?1 ? ? (1)如果 lim un v n?? n ? ? l , 0 ? l ? ?? ,且级数 vn n?1 ? 收敛,则级数 un n?1 收敛; ? ? (2)如果 lim un v n?? n ? ? l , 0 ? l ? ?? ,且级数 vn n?1 ? 发散,则级数 un n?1 发散. 说明:极限形式的比较审敛法,在两个正项级数的一般项均趋于零的情况下,其实是比较它 们的一般项作为无穷小的阶.上述结论表明,当 n ? ? 时,如果 un 是与 vn 同阶或是比 vn ? ? ? ? 高阶的无穷小,而级数 vn 收敛,则级数 un 收敛;如果 un 是与 vn 同阶或是比 vn 低 n?1 n?1 ? ? ? ? 阶的无穷小,而级数 vn 发散,则级数 un 发散. n?1 n?1 3.比值审敛法(达朗贝尔判别法) ? 设 ? un n?1 为正项级数,如果 lim un?1 u n?? n ? ? ,则当 ? ? 1时级数收敛; ? ? 1(或 lim un?1 ? ?? )时级数发散; ? ? 1时级数可能收敛也可能发散. u n?? n 4.根值审敛法(柯西判别法) ? ? 设 un n?1 为正项级数,如果 lim n n?? un ? ? ,则当 ? ? 1时级数收敛; ? ? 1(或 lim n n?? un ? ?? )时级数发散; ? ? 1时级数可能收敛也可能发散. 三、交错级数及其审敛法 1.交错级数的概念 所谓交错级数是这样的级数,它的各项是正负交错的,从而可以写成下面的形式: ? ? u1 ? u2 ? u3 ? u4 ?L ? (?1)n?1un , n?1 ? 或 ? ?u1 ? u2 ? u3 ? u4 ?L ? (?1)n un , n?1 其中 u1 , u2 ,L 都是正数. 2.交错级数的审敛法—莱布尼茨定理 ? ? 如果交错级数 (?1)n?



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