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河北邢台外国语学校2012-2013学年度第二学期期末考试高二数学(理)试题

河北邢台外国语学校 2012-2013 学年度第二学期期末考试试题 高二数学(理)试题
分值:150 分 时间:120 分钟 命题人:王文东 参考公式: 如果事件互斥,那么
P( A + B) = P( A) + P( B)

球的表面积公式
S = 4p R 2

如果事件相互独立,那么 P( A ?B) P( A) P( B) 如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么 在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k Pn (k ) = Cn p (1- p)n- k (k = 0,1,2,…, n)

其中 R 表示球的半径 球的体积公式

V=

4 3 pR 3 其中 R 表示球的半径

第一部分

(选择题 共 60 分)

注意事项: 1、选择题必须使用 2B 铅笔将答案标号涂在机读卡上对应题目标号的位置上。 2、本部分共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。 一、选择题:每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1 1 1 1.设 a,b,c 都是正数,则三个数 a ? ,b ? ,c ? ( ) b c a A.都大于 2 B.至少有一个大于 2 C.至少有一个不大于 2 D.至少有一个不小于 2 0.8) ,则 D(2 X ? 1) 等于( 2.设 X ~ B(10, ) A.1.6 B.3.2 C.6.4 D.12.8 )

, 2) , 3. 已知回归直线方程 y ? bx ? a , 其中 a ? 3 且样本点中心为 (1 则回归直线方程为 (

A. y ? x ? 3

B. y ? ?2 x ? 3

C. y ? ? x ? 3

D. y ? x ? 3

, ,且在点 Q(2, ? 1) 处的切线平行于直线 y ? x ? 3 , 4.已知抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 通过点 P (11)

则抛物线方程为( A. y ? 3x2 ? 11x ? 9 C. y ? 3x2 ? 11x ? 9

) B. y ? 3x2 ? 11x ? 9 D. y ? ?3x2 ? 11x ? 9

5.如图所示,图中有 5 组数据,去掉组数据后(填字母代号) ,剩下的 4 组数据的线性相关性最大( ) A. E B. C C. D D. A

6.在 5 道题中有 3 道数学题和 2 道物理题.如果不放回地依次抽取 2 道题,则在第 1 次抽 到数学题的条件下,第 2 次抽到数学题的概率是( )

第 1 页 共 7 页

A.

3 5

B.

2 5

C.

1 2

D. )

1 3

m ? 2i (m ? R) 不可能在( 1 ? 2i A.第一象限 B.第二象限
7.复数 z ? 8.. a ? N? ,且 a ? 20 ,则 (27 ? a)(28 ? a)
8 A. A27 ?a 27 ? a B. A34 ?a

C.第三象限
(34 ? a) 等于(

D.第四象限 )

7 C. A34 ?a

8 D. A34 ?a

9. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目,如果将这 两个节目插入原节目中,那么不同插法的种数为( ) . A.42 B.30 C.20 D.12

10.某市期末教学质量检测,甲、乙、丙三科考试成绩近似服从正 态分布,则由如图曲线可得下列说法中正确的是( ) A.甲学科总体的方差最小 B.丙学科总体的均值最小 C.乙学科总体的方差及均值都居中 D.甲、乙、丙的总体的均值不相同 11.对于两个复数 ? ? ① ?? ? 1 ;② A.1
1 3 1 3 ? i ,? ? ? ? i ,有下列四个结论: 2 2 2 2

? ? ? 1 ;③ ? 1 ;④ ? 3 ? ? 3 ? 1 .其中正确的个数为( ? ?
B.2 C.3 D.4 )



2 12、直线 y ? x ? 4 与抛物线 y ? 2 x 所围成的图形面积是(

A 15

B 16

C 17

D 18

第二部分
注意事项:

(非选择题 共 90 分)

(1)必须使用 0.5 毫米黑色签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答,作图题可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色签字笔描清楚。答在试题卷上无效。 (2)本部分共 10 个小题,共 90 分。 二、 填空题 (本大题共 4 个小题, 每小题 5 分, 共 20 分。 把答案填在答题纸的相应位置上。 ) 13.已知 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? 则 n=
? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ? ? an xn , a1 ? a2 ?
? an ?1 ? 29 ? n ,

1 14.若三角形内切圆的半径为 r ,三边长为 a,b,c ,则三角形的面积等于 S ? r (a ? b ? c) , 2 根据类比推理的方法,若一个四面体的内切球的半径为 R ,四个面的面积分别是

第 2 页 共 7 页

S1,S2,S3,S4 ,则四面体的体积 V ?



15.某市对 1 万名中学生的数学成绩(满分 100 分)进行抽样统计,发现它们近似服从正态 分布 N(70,102) ,若 90 分以上者有 230 人,则这 1 万名学中 50 分以下的人数共有 16.

?

1

0

1 ? ?x ? 1? dx ?
2

三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算 步骤。 ) 17. (本小题满分 10 分) 设 f ( x) ? (1 ? x)m ? (1 ? x)n 的展开式中 x 的系数是 19(m,n ? N? ) . (1)求 f ( x) 展开式中 x2 的系数的最小值; (2)对 f ( x) 展开式中 x2 的系数取最小值时的 m ,n ,求 f ( x) 展开式中 x7 的系数. 18. (本小题满分 12 分) 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了 500 位老年人,结果如下: 性别 是否需要志愿者 需要 不需要 男 40 160 女 30 270

(Ⅰ )估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ )能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (Ⅲ )根据(Ⅱ )的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中,需要志愿者 提供帮助的老年人的比例?说明理由. 附:

P(K 2 ≥ k )
k
19. (本小题满分 12 分)

0.050 3.841

0.010 6.635

0.001 10.828

红队队员甲、乙、丙与蓝队队员 A、B、C 进行围棋比赛,甲对 A,乙对 B,丙对 C 各一盘, 已知甲胜 A,乙胜 B,丙胜 C 的概率分别为 0.6,0.5,0.5,假设各盘比赛结果相互独立。 (Ⅰ)求红队至少两名队员获胜的概率; (Ⅱ)用 ? 表示红队队员获胜的总盘数,求 ? 的分布列和数学期望 E? . 20. (本小题满分 12 分) 用总长 14.8 m 的钢条制做一个长方体容器的框架,如果所制做容器的底面的一边比另 一边长 0.5 m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积. 21. (本小题满分 12 分) x ( x ? 0) ,数列 ?an ? 满足 a1 ? f ( x) , an ?1 ? f (an ) . 已知函数 f ( x) ? 1 ? x2 (1)求 a2,a3,a4 ;

第 3 页 共 7 页

(2)猜想数列 ?an ? 的通项,并予以证明. 22. (本小题满分 12 分)
0 ) 是函数 f ( x) ? x3 ? ax 与 g ( x) ? bx 2 ? c 的图象的一个公共点, 设t ? 0 , 点 P (t, 两函数的图象

在点 P 处有相同的切线. (1)用 t 表示 a,b,c ; , 3) 上单调递减,求 t 的取值范围. (2)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ( ?1 1. D 2. C 3. C 4. A 5. A 6. C 7. A 8. D 9. 解析:新插入两个节目,而原来的 5 个节目顺序不变,从结果考虑,7 个节目的全排列是
7 5 ,而顺序不变的 5 个节目的全排列是 A5 ,不变的顺序是总体的 A7
7 A7 1 ,则一共有 ? 42 种 5 A55 A5

不同的插入种数,故选 A. 10. A 11. B 12. 解析:直线 y ? x ? 4 与抛物线 y 2 ? 2 x 的交点为 ?2,?2?, ?8,4?. 结合图像可知面积
4 1 ?2 ? 8? ? ?4 ? ?? 2?? ? ??2 1 y 2 dy ? 30 ? 1 ? 1 y 3 2 2 2 3 .此题选取 y 为积分变量较容易. 选 D.

s?

4 ?2

? 30 ? 12 ? 18

13.解析:a0 ? 1 ? 1 ?

? 1 ? n ,an ? 1 .令 x ? 1 ,则 2 ? 22 ? 23 ?

? 2n ? a0 ? a1 ? a2 ?

? an ,

∴a1 ? a2 ?

? an?1 ?

2(1 ? 2n ) ? a0 ? an ? 2(2n ? 1) ? n ? 1 ? 2n?1 ? n ? 3 , 1? 2

∴ 2n ?1 ? n ? 3 ? 29 ? n ,∴ n ? 4 .

1 14.答案: R(S1 ? S2 ? S3 ? S4 ) 3
2

15 答案:230

16.答案:

? 4

解析:函数 y ? 1 ? ?x ? 1? 的图像是圆心为 ?1,0? ,半径为 1 的圆的上半部分.由定积分的 几何意义知道,所求定积分为圆面积的

1 ? ,也即是 . 4 4

1 1 17.解: (1)由题意知 Cm ? Cn ? 19 ,∴ m ? n ? 19 ,∴ m ? 19 ? n .

x2 的系数为

1 1 19 ? 323 ? 2 2 2 2 Cm ? Cn ? C19 (19 ? n)(18 ? n) ? n(n ? 1) ? n 2 ? 19n ? 171 ? ? n ? ? ? , ? n ? Cn ? 2 2 2? 4 ? ? 1 ? 323 ∵ n ? N ,∴当 n ? 9 或 n ? 10 时, x 的系数取最小值 ? ? ? ? 81 .…………5 分 4 ?2?
? 2

2

2

7 7 3 ? C9 ? C10 ? C92 ? 156 .……10 分 (2)当 n ? 9,m ? 10 或 n ? 10,m ? 9 时, x7 的系数为 C10

18.解: (Ⅰ)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助,因此该地区老年人中需

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要帮助的老年人的比例的估计值为

70 ? 14% . 500

…………5 分

(Ⅱ) k ?
2

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160) 2 ? 9.967 200 ? 300 ? 70 ? 430

由于 9.967 ? 6.635 , 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关. …………10 分 (Ⅲ)由于(Ⅱ)的结论知,该地区老年人是否需要帮助与性别有关,并且从样本数据 能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异, 因此在调查时, 先确 定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简 单随机抽样方法更好. …………12 分 19 . ( Ⅰ ) 红 队 至 少 两 名 队 员 获 胜 的 概 率 为

0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 =0.55.
(Ⅱ) ? 取的可能结果为 0,1,2,3,则 P(? ? 0) ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.1;

…………5 分

P(? ? 1) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 + 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.35; P(? ? 2) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 ? 2 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.5 =0.4; P(? ? 3) ? 0.6 ? 0.5 ? 0.5 =0.15.
所以 ? 的分布列为

?
P

0 0.1

1 0.35

2 0.4

3 0.15 …………10 分

数学期望 E? =0× 0.1+1× 0.35+2× 0.4+3× 0. 15=1.6. 20 . 解

…………12 分

设 容 器 底 面 边 长 为 x m , 另 一 边 长 为 ( x ? 0.5) m , 高 为

14.8 ? 4 x ? 4( x ? 0.5) ? 3.2 ? 2 x ,由 3.2 ? 2 x ? 0 和 x ? 0 ? 0 ? x ? 1.6 . 4
设容器的容积为 y m3,则有 y ? x( x ? 0.5)(3.2 ? 2 x)(0 ? x ? 1.6) 即 y ? ?2 x ? 2.2 x ? 1.6 x
3 2

…………6 分

令 y' ? 0 ,有 ? 6 x ? 4.4 x ? 1.6 ? 0
2

即 15 x ? 11x ? 4 ? 0 ? x1 ? 1, x 2 ? ?
2

4 ,(不合题意,舍去) 15
. …………12 分

所以当 x ? 1 时, ymax ? ?2 ? 2.2 ? 1.6 ? 1.8 (m3)

第 5 页 共 7 页

x

21.解: (1)由 a1 ? f ( x) ,得 a2 ? f (a1 ) ?

a1 1? a
2 1

?

1 ? x2 ? x ? 1? ? ? 2 ? 1? x ?
2

?

x 1 ? 2 x2



x a3 ? f (a2 ) ? a2 1? a
2 2

?

1 ? 2x2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? 2x ? x
2

?

x 1 ? 3x 2



a4 ? f (a3 ) ?

a3 1? a
2 3

?

1 ? 3x 2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? 3x ?
2

?

x 1 ? 4 x2



…………4 分

(2)猜想: an ?

x 1 ? nx
2

( n ? N? ) ,

证明: (1)当 n ? 1 时,结论显然成立; (2)假设当 n ? k 时,结论成立,即 ak ?
x 1 ? kx 2



x

那么,当 n ? k ? 1 时,由 ak ?1 ? f (ak ) ?

1 ? kx 2 ? ? x 1? ? ? 2 ? 1 ? kx ?
2

?

x 1 ? (k ? 1) x 2



这就是说,当 n ? k ? 1 时,结论成立; x 由(1) , (2)可知, an ? 对于一切自然数 n(n ? N? ) 都成立. 2 1 ? nx

…………12 分

0) ,所以 f (t ) ? 0 ,即 t 3 ? at ? 0 . 22.解: (1)因为函数 f ( x) , g ( x) 的图象都过点 (t,

因为 t ? 0 ,所以 a ? ?t 2 . g (t ) ? 0 ,即 bt 2 ? c ? 0 ,所以 c ? ab .
0) 处有相同的切线, 又因为 f ( x),g ( x) 在点 (t,

所以 f ?(t ) ? g ?(t ) ,而 f ?( x) ? 3x2 ? a , g ?( x) ? 2bx ,所以 3t 2 ? a ? 2bt . 将 a ? ?t 2 代入上式得 b ? t .因此 c ? ab ? ?t 3 . 故 a ? ?t 2 , b ? t , c ? ?t 3 .

…………4 分

(2) y ? f ( x) ? g ( x) ? x3 ? t 2 x ? tx2 ? t 3 , y? ? 3x2 ? 2tx ? t 2 ? (3x ? t )( x ? t ) . 当 y? ? (3x ? t )( x ? t ) ? 0 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 单调递减.

t t 由 y ? ? 0 ,若 t ? 0 ,则 ? ? x ? t ;若 t ? 0 ,则 t ? x ? ? . 3 3
t? ? t ? ? , 3) ? ? ? ,t ? 或 (?1 , 3) ? ? t, ? ?. , 3) 上单调递减,则 (?1 由题意,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ( ?1 3? ? 3 ? ?

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所以 t ≤ ?9 或 t ≥ 3 . , 3) 上不是单调递减的. 又当 ?9 ? t ? 3 时,函数 y ? f ( x) ? g ( x) 在 ( ?1 所以 t 的取值范围为 ? ?∞, ? 9?
? ∞? . ?3,

…………12 分

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