当前位置: 首页 > >

圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结

发布时间:

WORD 资料可编辑
圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结

1.圆锥曲线的两个定义:

(1)第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点 的距离的和等于常数2a,且此

常数2a 一定要大于

,当常数等于

时,轨迹是线段 ,当常数小于

时,无轨迹;双曲线

中,与两定点 的距离的差的绝对值等于常数2a,且此常数2a 一定要小于 ,定义中的“绝对值”与

不可忽视。若

,则轨迹是以 为端点的两条射线,若

若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如:

①已知定点

,在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是

A.

B.

,则轨迹不存在。

C.

D.

(答:C);

②方程

表示的曲线是_____(答:双曲线的左支)

(2)第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线,且“点点距为分子、点线距为分母”,其商即 是离心率 e。圆锥曲线的第二定义,给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系, 要善于运用第二定义对它们进行相互转化。

如已知点

及抛物线

上一动点 P(x,y),则 y+|PQ|的最小值是_____(答:2)

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):

(1)椭圆:焦点在 x 轴上时

y 轴上时

。方程

(参数方程,其中 为参数),焦点在 表示椭圆的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B,C

同号,A≠B)。比如:已知方程

表示椭圆,则 k 的取值范围为____(答:

);

(2)双曲线:焦点在 x 轴上:

,焦点在 y 轴上:

。方程

表示双曲线的充要条件是什么?(ABC≠0,且 A,B 异号)。比如:双曲线的离心率等于 ,且与椭圆

有公共焦点,则该双曲线的方程_______(答:

);

(3)抛物线:开口向右时

,开口向左时
专业整理分享

,开口向上时



开口向下时

WORD 资料可编辑


3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断): (1)椭圆:由 分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。

如已知方程

表示焦点在 y 轴上的椭圆,则 m 的取值范围是_(_ 答:



(2)双曲线:由

项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;

(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。

特别提醒:(1)在求解椭圆、双曲线问题时,首先要判断焦点

位置,焦点、的位置,是椭圆、

双曲线的定位条件,它决定椭圆、双曲线标准方程的类型,而方程中的两个参数 a,b,确定椭圆、双曲线 的形状和大小,是椭圆、双曲线的定形条件;在求解抛物线问题时,首先要判断开口方向;(2)在椭圆中,

a 最大,

,在双曲线中,c 最大,



4.圆锥曲线的几何性质:

(1)椭圆(以

为例):①范围:

③对称性:两条对称轴 x=0,y=0,一个对称中心(0,0),四个顶点

;②焦点:两个焦点



,其中长轴长为2a,短轴

长为2b;④准线:两条准线 椭圆越扁。

; ⑤离心率: ,椭圆

,e 越小,椭圆越圆;e 越大,

比如:若椭圆

的离心率

,则 m 的值是__(答:3或 );

(2)双曲线(以

为例):①范围:

③对称性:两条对称轴 x=0,y=0,一个对称中心(0,0),两个顶点

;②焦点:两个焦点



,其中实轴长为2a,虚轴长为2b,

特别地,当实轴和虚轴的长相等时,称为等轴双曲线,其方程可设为

;④准线:两条准

线

; ⑤离心率:

,双曲线

开口越大;⑥两条渐近线:



,等轴双曲线

,e 越小,开口越小,e 越大,

比如:双曲线的渐近线方程是

,则该双曲线的离心率等于______(答: 或 );

专业整理分享

WORD 资料可编辑

(3)抛物线(以

为例):①范围:

;②焦点:一个焦点

,其中 p 的

几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴 y=0,没有对称中心,只有一个顶点(0,0);④

准线:一条准线

; ⑤离心率: ,抛物线



如设

,则抛物线

的焦点坐标为________(答:

);

5、点 (1)点 (2)点 (3)点

和椭圆 在椭圆外 在椭圆上 在椭圆内

的关系: ; ;

6.直线与圆锥曲线的位置关系:

(1)相交:

直线与椭圆相交;

直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有 ,

当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故

是直线与双曲线相交的充

分条件,但不是必要条件;

直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不一定有 ,当直线与

抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 也仅是直线与抛物线相交的充分条

件,但不是必要条件。

比如:若直线 y=kx+2与双曲线

的右支有两个不同的交点,则 k 的取值范围是_______(答:

);
(2)相切: (3)相离:

直线与椭圆相切; 直线与椭圆相离;

直线与双曲线相切; 直线与双曲线相离;

直线与抛物线相切; 直线与抛物线相离。

特别提醒: (1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双曲
线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点;

(2)过双曲线

外一点

的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下:①P 点在两条渐

近线之间且不含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线,共

四条;②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支

相切的两条切线,共四条;③P 在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行的直线,

一条是切线;④P 为原点时不存在这样的直线;

专业整理分享

WORD 资料可编辑
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点:两条切线和一条平行于对称轴的直 线。比如:

①过点(2,4)作直线与抛物线

只有一个公共点,这样的直线有______(答:2);

②对于抛物线 C: 抛物线的内部,则直线 :

,我们称满足

的点

在抛物线的内部,若点



与抛物线 C 的位置关系是_______(答:相离); ③求椭圆

上的点到直线

的最短距离(答: )。

7、焦半径(圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离)的计算方法:利用圆锥曲线的第二定义,转化到相应准 线的距离,即焦半径 r=ed,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。比如:

①已知椭圆

上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,则点 P 到右准线的距离为____(答: );

②椭圆

内有一点 p(1,-1),F 为右焦点,在椭圆上有一点 M,使

之值最小,则点

M 的坐标为_______(答:



8、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:常利用第一定义和正弦、余弦

定理求解。设椭圆或双曲线上的一点

到两焦点 的距离分别为 ,焦点

的面积为 ,

则在椭圆

中, ① ;②

,且当

即 P 为短轴端点时, 最大为

,当

即 P 为短轴端点时, 的最大值为 bc;对于

双曲线

的焦点三角形有:①

;②



比如:短轴长为 ,离心率 的周长为________(答:6);

的椭圆的两焦点为

,过 作直线交椭圆于 A、B 两点,则

9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(2)设 AB 为焦点弦, M 为准线与 x 轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)设 AB 为焦点弦,A、B 在准线上的射影

分别为 ,若 P 为 的中点,则 PA⊥PB;(4)若 AO 的延长线交准线于 C,则 BC 平行于 x 轴,反

之,若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点,则 A,O,C 三点共线。

10、弦长公式:若直线

与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 分别为 A、B 的横坐标,则

专业整理分享

WORD 资料可编辑

,若

分别为 A、B 的纵坐标,则

,若弦 AB 所在直线方

程设为

,则

。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一

般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。

比如:过抛物线

焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,已知|AB|=10,O 为坐标原点,则 ΔABC

重心的横坐标为_______(答:3);

11、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆

中,以

为中点的弦所在直线的斜率

;在双曲线

中,以

为中点的弦所在直

线的斜率

;在抛物线中,以

为中点的弦所在直线的斜率。

比如:如果椭圆 );
12.你了解下列结论吗?

弦被点 A(4,2)平分,那么这条弦所在的直线方程是

(1)双曲线

的渐近线方程为



(答:

(2)以 ≠0)。

为渐近线(即与双曲线

共渐近线)的双曲线方程为

(3)中心在原点,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为



( 为参数,

(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)为
抛物线的通径为2p,焦准距为 p; (5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的弦;

(6)若抛物线

的 焦 点 弦 为 AB ,

,焦准距(焦点到相应准线的距离)为 ,

,则①



② (7)若 OA、OB 是过抛物线

顶点 O 的两条互相垂直的弦,则直线 AB 恒经过定点(2p,0)

13.动点轨迹方程:

专业整理分享

WORD 资料可编辑
(1)求轨迹方程的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围; (2)求轨迹方程的常用方法:
①直接法:直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0; 如 已 知 动 点 P 到 定 点 F(1,0) 和 直 线 x=3 的 距 离 之 和 等 于 4 , 求 P 的 轨 迹 方 程 .( 答 :



);

②待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件 确定其待定系数。
如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M(m,0)(m>0),端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m,以 x 轴为

对称轴,过 A、O、B 三点作抛物线,则此抛物线方程为

(答:



③定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程;

如点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线

的距离小于1,则点 M 的轨迹方程是_______ (答:

);

④代入转移法:动点 P(x,y)依赖于另一动点

的变化而变化,并且

则可先用 x,y 的代数式表示

,再将

代入已知曲线得要求的轨迹方程;

又在某已知曲线上,

如动点 P 是抛物线

上任一点,定点为 A(0,-1),点 M 分 所成的比为2,则 M 的轨迹方

程为__________(答:

);

⑤参数法:当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将 x,y 均 用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得普通方程)。

如若点

在圆

上运动,则点

的 轨 迹 方 程 是 ____ ( 答 :

); 注意:①如果问题中涉及到平面向量知识,那么应从已知向量的特点出发,考虑选择向量的几何形式 进行“摘帽子或脱靴子”转化,还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。

如已知椭圆

的左、右焦点分别是 F1(-c,0)、F2(c,0),Q 是椭圆外的动

点,满足

点 P 是线段 与该椭圆的交点,点 T 在线段 上,并且满足

(1)设 x 为点 P 的横坐标,证明

;(2)求点 T 的轨迹 C 的方程;(3)试问:在点 T 的轨

迹 C 上,是否存在点 M,使△ F1MF2的面积 S= 若存在,求∠F1MF2的正切值;若不存在,请说明理由.

(答:(1)略;(2)

;(3)当

时不存在;当

时存在,此时∠F1MF2=2)

专业整理分享

WORD 资料可编辑
②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念,寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中,常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称 性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”,那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.

14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容:

(1) 给出直线的方向向量



(2)给出

与 AB 相交,等于已知

过 AB 的中点;

(3)给出

,等于已知 P 是 MN 的中点;

(4)给出

,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;

(5) 给出以下情形之一:①

;②存在实数

,等于已知 A,B,C 三点共线

;③若存在实数

(6) 给出 (7) 给出 是钝角, 给出

,等于已知 P 是 的定比分点, 为定比,即

,等于已知

,即

是直角,给出

,等于已知

是锐角。

,等于已知

(8)给出

,等于已知 MP 是

(9)在平行四边形 ABCD 中,给出

的平分线; ,等于已知 ABCD 是菱形;

(10) 在平行四边形 ABCD 中,给出

,等于已知 ABCD 是矩形;

(11)在△ ABC 中,给出

,等于已知 O 是△ ABC 的外心(三角形外接圆的圆心,

三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点);

(12) 在△ ABC 中,给出 角形三条中线的交点);

,等于已知 O 是△ ABC 的重心(三角形的重心是三

(13)在△ ABC 中,给出 垂心是三角形三条高的交点);

,等于已知 O 是△ ABC 的垂心(三角形的

专业整理分享

WORD 资料可编辑

(14)在△ ABC 中,给出

等于已知 通过△ ABC 的内心;

(15)在△ ABC 中,给出 圆心,三角形的内心是三角形三条角平分线的交点);

等于已知 O 是△ ABC 的内心(三角形内切圆的

(16) 在△ ABC 中,给出

,等于已知 AD 是△ ABC 中 BC 边的中线

专业整理分享




友情链接: 高中资料网 职业教育网 成人教育网 理学 大学工学资料