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圆锥曲线概念、方法、题型、易误点技巧总结
1.圆锥曲线的两个定义：
（1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 的距离的和等于常数2a，且此
常数2a 一定要大于
，当常数等于
时，轨迹是线段 ，当常数小于
时，无轨迹；双曲线
中，与两定点 的距离的差的绝对值等于常数2a，且此常数2a 一定要小于 ，定义中的“绝对值”与
不可忽视。若
，则轨迹是以 为端点的两条射线，若
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。比如：
①已知定点
，在满足下列条件的平面上动点 P 的轨迹中是椭圆的是
A．
B．
，则轨迹不存在。
C．
D．
（答：C）；
②方程
表示的曲线是_____（答：双曲线的左支）
（2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即 是离心率 e。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系， 要善于运用第二定义对它们进行相互转化。
如已知点
及抛物线
上一动点 P（x,y）,则 y+|PQ|的最小值是_____（答：2）
2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：
（1）椭圆：焦点在 x 轴上时
y 轴上时
。方程
（参数方程，其中 为参数），焦点在 表示椭圆的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B，C
同号，A≠B）。比如：已知方程
表示椭圆，则 k 的取值范围为____（答：
）；
（2）双曲线：焦点在 x 轴上：
，焦点在 y 轴上：
。方程
表示双曲线的充要条件是什么？（ABC≠0，且 A，B 异号）。比如：双曲线的离心率等于 ，且与椭圆
有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：
）；
（3）抛物线：开口向右时
，开口向左时
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，开口向上时
，
开口向下时
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。
3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。
如已知方程
表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 m 的取值范围是_（_ 答：
）
（2）双曲线：由
项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上；
（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。
特别提醒：（1）在求解椭圆、双曲线问题时，首先要判断焦点
位置，焦点、的位置，是椭圆、
双曲线的定位条件，它决定椭圆、双曲线标准方程的类型，而方程中的两个参数 a,b，确定椭圆、双曲线 的形状和大小，是椭圆、双曲线的定形条件；在求解抛物线问题时，首先要判断开口方向；（2）在椭圆中，
a 最大，
，在双曲线中，c 最大，
。
4.圆锥曲线的几何性质：
（1）椭圆（以
为例）：①范围：
③对称性：两条对称轴 x=0,y=0，一个对称中心（0,0），四个顶点
；②焦点：两个焦点
；
，其中长轴长为2a，短轴
长为2b；④准线：两条准线 椭圆越扁。
； ⑤离心率： ，椭圆
，e 越小，椭圆越圆；e 越大，
比如：若椭圆
的离心率
，则 m 的值是__（答：3或 ）；
（2）双曲线（以
为例）：①范围：
③对称性：两条对称轴 x=0,y=0，一个对称中心（0,0），两个顶点
；②焦点：两个焦点
；
，其中实轴长为2a，虚轴长为2b，
特别地，当实轴和虚轴的长相等时，称为等轴双曲线，其方程可设为
；④准线：两条准
线
； ⑤离心率：
，双曲线
开口越大；⑥两条渐近线：
。
，等轴双曲线
，e 越小，开口越小，e 越大，
比如：双曲线的渐近线方程是
，则该双曲线的离心率等于______（答： 或 ）；
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（3）抛物线（以
为例）：①范围：
；②焦点：一个焦点
，其中 p 的
几何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴 y=0，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④
准线：一条准线
； ⑤离心率： ，抛物线
。
如设
，则抛物线
的焦点坐标为________（答：
）；
5、点 （1）点 （2）点 （3）点
和椭圆 在椭圆外 在椭圆上 在椭圆内
的关系： ； ；
6．直线与圆锥曲线的位置关系：
（1）相交：
直线与椭圆相交；
直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，
当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故
是直线与双曲线相交的充
分条件，但不是必要条件；
直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与
抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条
件，但不是必要条件。
比如：若直线 y=kx+2与双曲线
的右支有两个不同的交点，则 k 的取值范围是_______（答：
）；
（2）相切： （3）相离：
直线与椭圆相切； 直线与椭圆相离；
直线与双曲线相切； 直线与双曲线相离；
直线与抛物线相切； 直线与抛物线相离。
特别提醒： （1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲
线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交, 也只有一个交点；
（2）过双曲线
外一点
的直线与双曲线只有一个公共点的情况如下：①P 点在两条渐
近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共
四条；②P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支
相切的两条切线，共四条；③P 在两条渐近线上但非原点，只有两条：一条是与另一渐近线平行的直线，
一条是切线；④P 为原点时不存在这样的直线；
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（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直 线。比如：
①过点(2,4)作直线与抛物线
只有一个公共点，这样的直线有______（答：2）；
②对于抛物线 C： 抛物线的内部，则直线 ：
，我们称满足
的点
在抛物线的内部，若点
在
与抛物线 C 的位置关系是_______（答：相离）； ③求椭圆
上的点到直线
的最短距离（答： ）。
7、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准 线的距离，即焦半径 r=ed，其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。比如：
①已知椭圆
上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3，则点 P 到右准线的距离为____（答： ）；
②椭圆
内有一点 p(1,-1)，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使
之值最小，则点
M 的坐标为_______（答：
）
8、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：常利用第一定义和正弦、余弦
定理求解。设椭圆或双曲线上的一点
到两焦点 的距离分别为 ，焦点
的面积为 ，
则在椭圆
中， ① ；②
，且当
即 P 为短轴端点时， 最大为
，当
即 P 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对于
双曲线
的焦点三角形有：①
；②
。
比如：短轴长为 ，离心率 的周长为________（答：6）；
的椭圆的两焦点为
，过 作直线交椭圆于 A、B 两点，则
9、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设 AB 为焦点弦， M 为准线与 x 轴的交点，则∠AMF＝∠BMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影
分别为 ，若 P 为 的中点，则 PA⊥PB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反
之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于 C 点，则 A，O，C 三点共线。
10、弦长公式：若直线
与圆锥曲线相交于两点 A、B，且 分别为 A、B 的横坐标，则
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，若
分别为 A、B 的纵坐标，则
，若弦 AB 所在直线方
程设为
，则
。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一
般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。
比如：过抛物线
焦点的直线交抛物线于 A、B 两点，已知|AB|=10，O 为坐标原点，则 ΔABC
重心的横坐标为_______（答：3）；
11、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆
中，以
为中点的弦所在直线的斜率
；在双曲线
中，以
为中点的弦所在直
线的斜率
；在抛物线中，以
为中点的弦所在直线的斜率。
比如：如果椭圆 ）；
12．你了解下列结论吗？
弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是
（1）双曲线
的渐近线方程为
；
（答：
（2）以 ≠0）。
为渐近线（即与双曲线
共渐近线）的双曲线方程为
（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为
；
（ 为参数，
（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为
抛物线的通径为2p，焦准距为 p； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；
（6）若抛物线
的 焦 点 弦 为 AB ，
，焦准距（焦点到相应准线的距离）为 ，
，则①
；
② （7）若 OA、OB 是过抛物线
顶点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点(2p,0)
13．动点轨迹方程：
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（1）求轨迹方程的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围； （2）求轨迹方程的常用方法：
①直接法：直接利用条件建立 x,y 之间的关系 F(x,y)=0； 如 已 知 动 点 P 到 定 点 F(1,0) 和 直 线 x=3 的 距 离 之 和 等 于 4 ， 求 P 的 轨 迹 方 程 ．（ 答 ：
或
）；
②待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程――先根据条件设出所求曲线的方程，再由条件 确定其待定系数。
如线段 AB 过 x 轴正半轴上一点 M（m，0）(m>0)，端点 A、B 到 x 轴距离之积为2m，以 x 轴为
对称轴，过 A、O、B 三点作抛物线，则此抛物线方程为
（答：
）
③定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；
如点 M 与点 F(4,0)的距离比它到直线
的距离小于1，则点 M 的轨迹方程是_______ （答：
）；
④代入转移法：动点 P(x,y)依赖于另一动点
的变化而变化，并且
则可先用 x,y 的代数式表示
，再将
代入已知曲线得要求的轨迹方程；
又在某已知曲线上，
如动点 P 是抛物线
上任一点，定点为 A(0,-1),点 M 分 所成的比为2，则 M 的轨迹方
程为__________（答：
）；
⑤参数法：当动点 P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将 x,y 均 用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。
如若点
在圆
上运动，则点
的 轨 迹 方 程 是 ____ （ 答 ：
）； 注意：①如果问题中涉及到平面向量知识，那么应从已知向量的特点出发，考虑选择向量的几何形式 进行“摘帽子或脱靴子”转化，还是选择向量的代数形式进行“摘帽子或脱靴子”转化。
如已知椭圆
的左、右焦点分别是 F1（－c，0）、F2（c，0），Q 是椭圆外的动
点，满足
点 P 是线段 与该椭圆的交点，点 T 在线段 上，并且满足
（1）设 x 为点 P 的横坐标，证明
；（2）求点 T 的轨迹 C 的方程；（3）试问：在点 T 的轨
迹 C 上，是否存在点 M，使△ F1MF2的面积 S= 若存在，求∠F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.
（答：（1）略；（2）
；（3）当
时不存在；当
时存在，此时∠F1MF2＝2）
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②曲线与曲线方程、轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，寻求轨迹或轨迹方程时应注意轨迹上特殊点 对轨迹的“完备性与纯粹性”的影响.
③在与圆锥曲线相关的综合题中，常借助于“平面几何性质”数形结合(如角平分线的双重身份――对称 性、利用到角公式)、“方程与函数性质”化解析几何问题为代数问题、“分类讨论思想”化整为零分化处理、 “求值构造等式、求变量范围构造不等关系”等等.
④如果在一条直线上出现“三个或三个以上的点”，那么可选择应用“斜率或向量”为桥梁转化.
14、解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：
（1） 给出直线的方向向量
；
（2）给出
与 AB 相交,等于已知
过 AB 的中点;
（3）给出
,等于已知 P 是 MN 的中点;
（4）给出
,等于已知 P,Q 与 AB 的中点三点共线;
（5） 给出以下情形之一：①
；②存在实数
,等于已知 A,B,C 三点共线
；③若存在实数
（6） 给出 （7） 给出 是钝角, 给出
，等于已知 P 是 的定比分点， 为定比，即
,等于已知
,即
是直角,给出
,等于已知
是锐角。
,等于已知
（8）给出
,等于已知 MP 是
（9）在平行四边形 ABCD 中，给出
的平分线; ，等于已知 ABCD 是菱形;
（10） 在平行四边形 ABCD 中，给出
，等于已知 ABCD 是矩形;
（11）在△ ABC 中，给出
，等于已知 O 是△ ABC 的外心（三角形外接圆的圆心，
三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；
（12） 在△ ABC 中，给出 角形三条中线的交点）；
，等于已知 O 是△ ABC 的重心（三角形的重心是三
（13）在△ ABC 中，给出 垂心是三角形三条高的交点）；
，等于已知 O 是△ ABC 的垂心（三角形的
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（14）在△ ABC 中，给出
等于已知 通过△ ABC 的内心；
（15）在△ ABC 中，给出 圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；
等于已知 O 是△ ABC 的内心（三角形内切圆的
（16） 在△ ABC 中，给出
,等于已知 AD 是△ ABC 中 BC 边的中线
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