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河南省开封市2013届高三第四次模拟考试数学(文)试题 Word版含答案

河南开封市 2013 届高三第四次模拟

数学(文)试题
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第(22)一(24) 题为选考题。其他题为必考题。考生作答时。将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。 考试结束后。将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1.答题前。考生务必先将自己的姓名。准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上 的姓名、准考证号。并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上 o 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案的标 号,非选择题答案使用 05 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写。字体工整。笔迹 清楚。 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4.保持卷面清洁,不折叠,不破损。 5.做选考题时,考生按照题目要求作答。并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑。 参考公式: 样本数据 x 1 , x 2 , ? , x n 的标准差;
1 n

s ?

[( x 1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ? ( x n ? x ) ], 其中 x 为样本平均数;
2 2 2

柱体体积公式: V ? Sh , 其中 S 为底面面积 锥体体积公式: V ?
1 3 Sh , 其中 S 为底面面积
2

、h 为高;
, h 为高;
3

球的表面积、体积公式: S ? 4 ? R , V ?

4 3

? R , 其中 R 为球的半径。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.复数
a ? 2i 1 ? 2i

(i 是虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 B.一 4 C.1 D.一 1

A.4

2.已知集合 A={0,1,2},集合 B= { x | x ? 2 a , a ? A } ,则 A ? B= A.{0} B.{2} C.{0,2} D.{1,4}

3.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等,体积为 2 3 ,它的三视图中 的俯视图如图所示.左视图是一个矩形.则这个矩形的面积是 A.4 C.2 B. 2 3 D. 3
?
2 ?? ?

4.设函数 f ( x ) ? A sin( ? x ? ? )( A ? 0 , ? ? 0 , ? 它的周期是 ? ,则 A. f ( x ) 的图象过点(0,
1 2

?
2

) 的图像关于直线 x=

2? 3

对称,


5? 12 ,0 )

B. f ( x ) 在[

?
12

,

2? 3

]上是减函数

C. f ( x ) 的图像一个对称中心是(
2 2

D. f ( x ) 的最大值是 4

5.已知圆 x ? y ? 4 ,则以点 P(1,1)为中点的弦所在直线方程为 A.x+y 一 2=0 B.y 一 1=0 C.x—y=0 D.x+3y—4=0 6.某程序的流程图如图所示,若使输出的结果不大于 38,则输入的 整数;i 的最大值为 A.4 B.5 C.6 D.7 7.已知△ABC,C=45°,则 sin A.
1 4
2

A ? sin

2

B ?

2 sin A sin B ?

B.
2

1 2

C.

D.
x a
2

3 4

2
y b
2

8.已知双曲线

2

?

2

? 1 (a>0,b>0)的右焦点 F(c,0) ,直线 x=

a

2

与其渐近线交于

c

A,B 两点,且△ABF 为钝角三角形,则双曲线离心率的取值范围是 A. 3 ,+∞) ( B. (1, 3 ) C. (1, 2 ) D. 2 ,+∞) (

9.若 | a |? 1, | b |? 2 , c ? a ? b 且 c ? a , 则向量 a 与 b 的夹角为 A.30° B.60° C.120° D.150°

10.若点 P (cos a , sin a ) 在直线 y ? ? 2 x 上 , 则 sin 2 a ? 2 cos 2 a ? A. ?
14 5

B.—2

C.—

7 5

D.

4 5

11.点 A、B、C、D 在同一个球的球面上,AB=BC= 2 ,AC=2,若四面体 ABCD 体积的最大

值为 A.

2 3

,则这个球的表面积为 B.8 ? C.
25 ? 4

125 ? 6

D.

25 ? 16

12.已知函数 f ( x ) 在 R 上可导,下列四个选项中正确的是 A.若 f ( x ) > f ( x ) 对 x∈R 恒成立,则 ef(1)<f(2) B.若 f ( x ) < f ( x ) 对 x∈R 恒成立,则 e2f(一 1)>f(1) C.若 f ( x ) + f ( x ) >0 对 x∈R 恒成立,则 ef(2)<f(1) D.若 f ( x ) + f ( x ) <0 对 x∈R 恒成立,则 f(一 1)>e2f(1)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分,第(1 3)题~第(21)题为必考题。每个试题考生 都必须做答.第(22)题~第(24)题为选考题。考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.
?x ? y ? 4 ? 0 ? 13.实数 x,y 满足条件 ? x ? 2 y ? 2 ? 0 , 则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ? x ? 0, y ? 0 ?



14.已知以 F 为焦点的抛物线 y

2

? 4 x 上的两点 A、B 满足

AF ? 3 FB ,则弦 AB 的中点到准线的距离为



15.已知函数 f ( x ) ? ax 为 .

2

? bx ? 1 ,其中 a,b∈[o,2],则此函数在[1,+∞)上递增的概率

16. a>1, 若 设函数厂 f ( x ) ? a ? x ? 4 的零点为 m, g(x)=log2x+x—4 的零点为 n, 则
x

1 m

?

1 n

的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明。证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知公差不为 0 的等差数列{ a n }的首项 a 1 ? 2 , 且
1 a1 , 1 a2 , 1 a4

成等比数列.

(I)求数列{ a n }的通项公式; (Ⅱ) 若数列 { b n } 满足 b1 ? 2 b 2 ? 2 b 3 ? ? ? 2
2 n ?1

bn ? a n , 求数列{ b n }的前行项和 T n .

18. (本小题满分 12 分) 为预防某种流感病毒爆发, 生物技术科研所研制出一种新流感疫苗, 为测试该疫苗的有 效性(若疫苗有效的概率小于 90%,则认为测试没有通过),公司选定 2000 个流感样本务成 三组,测试结果如下表: 已知在全体样本中随机抽取 1 个,抽到 B 组疫苗有效的概率是 0.33. (I)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取 360 个测试结果, 问应在 C 组抽取样本多少个? (Ⅱ)已知 b≥465,c≥30,求通过测试的概率.

19. (本小题满分 12 分) 如图,四棱锥 P—ABCD 的底面 ABCD 是矩形,侧面 PAB 是正三角形,AB=2,BC= 2 , PC= 6 .E、H 分别为 PA、AB 的中点。 (I)求证:PH⊥AC; (Ⅱ)求三棱锥 P—EHD 的体积.

20. (本小题满分 12 分) 已知中心在原点 O,焦点在 x 轴上,离心率为
3 2

的椭圆过点( 2 ,

2 2

).

(I)求椭圆的方程; (Ⅱ)设不过原点 O 的直线 l 与该椭圆交于 P,Q 两点, 直线 OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ 面积 的取值范围.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ax
2

? x ( a ? R , a ? 0 ), g ( x ) ? ln x .

(I)讨论函数 f ( x ) ? g ( x ) 在定义域上的单调性; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x ) 与 y ? g ( x ) 的图像有两个不同的交点,求口的取值范围.

22. (本小题满分 10 分)选修 4--1. :平面几何 已知.AB 为半圆 O 的直径, AB=4,C 为半圆上一点,过 点 C 作半圆的切线 CD,过点 A 作 AD⊥CD 于 D,交圆 于点 E,DE=1. (I)求证:AC 平分∠BAD; (Ⅱ)求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4--4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? 线 C: 一 2)2 一 x =1 交于 A,B 两点 (y
2

? x ? ?2 ? t ?y ? 2 ? 3t

(t 为参数) ,直线 l 与曲

(I)求|AB|的长; (Ⅱ) 在以 O 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, x 设点 P 的极坐标为 2 2 , ( 求点 P 到线段 AB 中点 M 的距离.
3? 4



24. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲. 已知关于 x 的不等式 | 2 x ? x | ? | x ? 3 |? 2 x ? 4 , 其中 a ? R .

(I)若 a=1,求不等式的解集; (Ⅱ)若不等式的解集为 R,求 a 的取值范围.



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