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第八章多元函数微分学

第八章 一、多元函数的概念 多元函数微分学 1.多元函数的定义 设 D 是 n维空间的点集,如果对于每个点 P(x1, x2 ,L , xn ) ? D ,变量u 按照一定 法则总有确定的值与之对应,则称 u 是变量 x1 、 x2 、L 、 xn 的 n 元函数(或点 P 的函 数),记为u ? f (x1, x2,L , xn ) 或 u ? f (P) . 当 n ? 2 时,即为二元函数的定义,一般记为 z ? f (x, y) . 2.二元函数的几何意义 设 D 是 二 元 函 数 z ? f (x, y) 的 定 义 域 , 则 空 间 点 集 {(x, y, z) z ? f (x, y),(x, y) ? D}称为二元函数 z ? f (x, y) 的图形,一般情况 下,它在空间表示一张曲面. 二、二元函数的偏导数 1.一阶偏导数 设二元函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 的某邻域内有定义,当自变量 y 保持定值不变 时,若极限 lim f (x ? ?x, y) ? f (x, y) ?x?0 ?x 存在,则称此极限值为函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 处对 x 的偏导数,记作 f x ( x, y) , ?z ?x 或 zx ( f ? x ( x, y) 或 zx? 也可). 类似可定义函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 处对 y 的偏导数 lim f (x, y ? ?y) ? f (x, y) , ?y?0 ?y 记作 f y ( x, y) , ?z ?y 或 zy ( f ? y ( x, y) 或 z ? y 也可). 当 (x, y) ? (x0, y0 ) 时,称 fx (x0 , y0 ) 为二元函数 z ? f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处 对 x 的偏导数值;类似地称 f y (x0 , y0 ) 为二元函数 z ? f (x, y) 在点 (x0 , y0 ) 处对 y 的 偏导数值. 2.二阶偏导数 设函数 z ? f (x, y) 在区域 D 内具有偏导数 ?z ?x ? ?z fx (x, y) , ?y ? f y (x, y) , 那么在 D 内 fx (x, y) 、 f y (x, y) 都是 x 、 y 的函数,如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数 z ? f (x, y) 的二阶偏导数,按照对变量求解次序的不同有下列四个二阶 偏导数: ? ?x ? ?? ?z ?x ? ?? ? ?2z ?x2 ? f xx ( x, y) , ? ?y ? ?? ?z ?x ? ?? ? ?2z ?x?y ? fxy (x, y) , ? ?x ? ? ? ?z ?y ? ? ? ? ?2z ?y?x ? f yx ( x, y ) , ? ?y ? ? ? ?z ?y ? ? ? ? ?2z ?y2 ? f yy (x, y) . ?2z 其中第二、三个偏导数称为混合偏导数.如果函数 z ? f (x, y) 的两个混合偏导数 ?x?y 及 ?2 z 在区域 D 内连续,那么在该区域内两个混合偏导数一定相等.此时,求函数 ?y?x z ? f (x, y) 的二阶混合偏导数时就与次序无关了. 三、二元函数的全微分 1.全微分的定义 设二元函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 的某邻域内有定义,如果函数在点 (x, y) 的全 增量 ?z ? f (x ? ?x, y ? ?y) ? f (x, y)可表示为 ?z ? A?x ? B?y ? o(?) , 其中 A 、 B 不依赖于 ?x 、?y ,而仅与 x 、 y 有关, ? ? (?x)2 ? (?y)2 ,则称函 数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 处可微分,而 A?x ? B?y 称为函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 处的全微分,记作 dz ,即 dz ? A?x ? B?y . 如果函数 z ? f (x, y) 在区域 D 内各点处都可微分,那么称函数在 D 内可微分. 当 z ? f (x, y) 在 点 (x, y) 处 可 微 时 , 有 A ? ?z , B ? ?z , 故 全 微 分 ?x ?y dz ? ?z dx ? ?z dy . ?x ?y 2.可微分的条件 (1)必要条件:如果函数 z ? f (x, y) 在点 (x, y) 可微分,则该函数在点 (x, y) 的偏导 数 ?z 、 ?z 必 定 存 在 , 且 函 数 z ? f (x, y) 在 点 (x, y) 的 全 微 分 为 ?x ?y dz ? ?z dx ? ?z dy . ?x ?y (2)充分条件:如果函数 z ? f (x, y) 的偏导数 ?z 、 ?z 在点 (x, y) 连续,则函数 ?x ?y z ? f (x, y) 在该点处可微分. 二元函数 z ? f (x, y) 连续、偏导数存在与可微之间的关系为: 偏导数连续 ?函数可微 ?函数连续 或 偏导数连续 ?函数可微 ?偏导数存在. 说明:二元函数 z ? f (x, y) 连续、偏导数存在与可微之间的关系非常重要,必须记住. 四、二元函数复合函数的求导法则 1.一元函数与多元函数复合的情形 如果函数u ? ?(t) 及 v ? ? (t) 都在点t 可导,函数 z ? f (u, v) 在对应点 (u, v) 具 有连续偏导数,则复合函数 z ? f [? (t),? (t)] 在点t 可导,且有 dz ? ?z du ? ?z dv . dt ?u dt ?v dt



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