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2012-2013高二数学理第一学期期末考试试题(解析版) 2

2012-2013 河南省商丘市高二理科数学期末统一考试试题解析版
一选择题 (1)已知双曲线方程为,

若 d ? ma ? nb ? pc, ,则 m ? n ? p 等于 B

? ?

?

?

?

( A) 4

( B) 1

(C ) -2

( D) -3

x2 y 2 ? ? 1 则此双曲线的右焦点坐标为 4 3
(C ) 5, 0) ( ( D) 7, 0) (

(6)已知数列 {an } ,满足 an ?1 ?

1 1 ,若 a1 ? ,则 a2013 =(C) 1 ? an 2

( A) 1, 0) (
【答案】B

( B) ( 7, 0)

( A)

1 2

( B) 2

(C ) ?1

( D) 1

【解析】本题主要考查双曲线的标准方程和简单几何性质. 属于基础知识、基本运算的考查.

1 易知 a2=2,a3=-1,a4= ,a5=2,∴数列 {an } 的周期为 3,而 2013=671×3,∴ a2013 = a3 ? ?1 . 2 (7)命题“存在 x ? R ,使 x ? ax ? 4a <0,为假命题”是命题“ ? 16 ? a ? 0 ”的(
2

x2 y 2 双曲线方程为 ? ? 1 ,双曲线 a 2 ? 4, b2 ? 3 , c ? a 2 ? b 2 ? 7 ,焦点在 x 轴上,此双曲线的右焦点坐标为 4 3
( 7 ,0) (2)命题“ ?x ?R, x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是(
3

A )

( A) 充要条件

( B) 必要不充分条件 (C ) 充分不必要条件

( D) .既不充分也不必要条件




(8)已知 ?ABC 的面积为

3 ? , AC ? 3, ?ABC ? ,则 ?ABC 的周长等于( 2 3

( A) ?x ?R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 (C ) ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0
【答案】D

( B) 不存在 x ?R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ( D) ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0

( A) 3 ? 3
【答案】A

( B) 3 3

(C ) 2 ? 3

( D)

3 3 2

【解析】由特称命题的否定规则可知,命题“ ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定应为“ ?x ? R, x 3 ? 2 x ? 1 ? 0 ”, 选 D。 (3)如果 -

【解析】 利用三角形面积公式和余弦定理得:b ? 3,

1 3 3 1 ac ? ,3 ? a 2 ? c 2 ? 2ac , 所以 3 ? (a ? c) 2 ? 3ac 得 2 2 2 2

?
2

?b?a?

?
2

a?c ?3
,则 b ? a 的取值范围是 A ( 9 ) 已 知 函 数

f ( x)

的 定 义 域 为

R ,

f (0) ? 1 , 对 任 意
? ( 9 )

x?R 都 有

( A) -? ? b-a ? 0

( B) -? ? b-a ? ??

(C ) -

?
2

? b-a ? 0

( D) -

?
2

? b-a ?

?
2
f( ? 1 ? x ) ( A)
10 9

f

?y ? x ? (4)若 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 ( ? y ? ?1 ?

1 1 则 (x ) ? 2 ,? f ( 0 f) ( 1f )
( B)
9 10

1 ? ? ? ? ? ? ? C? f ( 1 ) ( f2 ) f
( D)
11 21

( 1 0 )



(C )

10 21

( A) ?3
答案 D

( B)

3 2

(C ) 2

( D) 3

【答案】 (9)答案:C 解析:由 f ?0? ? 1且, f ?x ? 1? ? f ?x ? ? 2得f ?n ? 1? ? f ?n ? ? 2, f ?10 ? ? 21. 所以

?y ? x ? ?x ? y ? 1 ? y ? ?1 解析:该题通过由约束条件 ? ,求目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值简单考查线性规划求最优解问题;只要画出可行
域即可看出最优解.

1 1? 1 1 ? ? ? ? f ?n ? ? f ?n ? 1? ?. ? f ?n ? f ?n ? 1? 2 ? ? 1 1 1 1? 1 1 ? 10 ? ? ?????? ? ? ? ? f ?0? ? f ?10 ? ? ? 21 ? f ?0? f ?1? f ?1? f ?2? f ?9? f ?10 ? 2 ? ?

所以

(10)椭圆的焦点为 F1 , F2 ,过点 F1 作直线与椭圆相交,被椭圆截得的最短的线段 MN 长为 (5)已知 e1 , e2 , e3 为空间的一个基底,设 a ? e1 ? e2 ? e3 , b ? e1 ? e2 ? e3 , c ? e1 ? e2 ? e3 , d ? e1 ? 2e2 ? 3e3 ,
1

?

?? ?? ?? ?

?

?

?? ?? ?? ? ?

?? ?? ?? ? ?

?? ?? ?? ? ? ?

??

?? ?

??

32 , ?MF2 N 的周长 5

为 20 ,则椭圆的离心率为( B )

2 2 ( A) 5

3 ( B) 5

4 (C ) 5

17 ( D) 5

∵“ p 或 q ”为真, p 且 q ”为假, “ ∴ p 为真, q 为假,或 p 为假, q 为真.??????????????????????? 7 分 则?

(11)在平面直角坐标系中, A(?2,3), B(3, ?2) ,沿 x 轴把平面直角坐标系折成 120?的二面角后,则线段 AB 的长度为 ( D )

?m ? 2 ?m ? 2 或? , ?????????????????????? 9 分 ?m ? 1或m ? 3 ?1 ? m ? 3

( A) 2

( B) 4 2

(C ) 3 2

( D) 2 11

解得 m ? 3, 或 1 ? m ? 2 . ?????????????????????? 10 分

2 (12)已知点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的动点,点 P 在 y 轴上的射影为 M ,设 A( , 4) ,则 PA ? PM 的最小值是 C

7 2

(18) (本小题满分 12 分)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 b cos C ? c cos( A ? C ) ? 3a cos B . (I)求 cos B 的值;

( A)

7 2

( B) 4

(C )

9 2

( D) 5

二填空题 (13)在锐角 ?ABC 中, a, b, c 分别为角 A, B, C 所对的边,且 3a=2csinA,角 C=________. a c 解析:根据正弦定理, = , sin A sin C a c 由 3a=2csin A,得 = , sin A 3 2 ∴sin C= 3 π ,而角 C 是锐角.∴角 C= . 2 3

6 ,求 b 的值 (I)解:由正弦定理可得 sin B cos C ? sin C cos B ? 3sin A cos B ??????????????2 分
即 sin( B ? C ) ? 3sin A cos B ,?????????????????? 4 分 可得 sin A ? 3sin A cos B ,又 sin A ? 0 ,?????????????????? 5 分

(II)若 BA ? BC ? 2 ,且 a ?

1 ????6 分 3 ??? ??? ? ? (II)解:由 BA?BC ? 2,可得ac cos B ? 2 ,?????????????????? 8 分
故 cos B ? 即 ac ? 6 ,又 a ?
2 2 2

(14)等差数列 {an } 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a2 ? a5 ? a8 ? 33 ,则 a5 ? a8 ? a11 ? 33 的值为 15 解析:在等差数列{an}中,设 bn=an+an+3+an+6,(n=1,2,3??),则{bn}仍为等差数列.

6 ,可得 c ? 6 ,?????????????????? 9 分

由 b ? a ? c ? 2ac cos B ,?????????????????? 10 分 可得 b ? 2 2 ????????????????????? ?12 分 (19) (本小题满分 12 分) 在数列 {a n } 中, a1 ?
2 , 3a n ?1 ? a n ? 1 ? 0 3

b1=a1+a4+a7=39, b2=a2+a5+a8=33,∴公差 d=b2-b1=-6,
∴a5+a8+a11=b5=b1+4d=39+4×(-6)=15. (15)设 M 、 N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点, DE ? AB 于 E (如图).现将 ?ADE 沿 DE 折起,使二面角

A ? DE ? B 为 45? ,此时点 A 在平面 BCDE 内的射影恰为点 B ,则 M 、 N 的连线与 AE 所成角的大小等于
_____

? ____. 2
D E

A M C

D M

C N B

1 (Ⅰ)求证:数列 {a n ? } 为等比数列; (Ⅱ)求数列 {a n } 的通项公式和前 n 项和公式 S n . 2 19.解: (Ⅰ) 3a n ?1 ? a n ? 1 ? 0 , 即 3a n ?1 ? a n ? 1 ①????????????????????????????1 分
1 a n ?1 ? 3 1 1 1 2 ? 1 ,??????????????????5 分 所以 3a n ?1 ? ? a n ? ? 3(a n ?1 ? ) ? a n ? ? 1 2 2 2 2 3 an ? 2

x2 y2 ? ? 1 的两个焦点 F 1 、 F2 的距 (16)已知动点 P 与双曲线 2 3 1 为定值,且 cos ?F1 PF2 的最小值为 ? .动点 P 的轨迹方程 9
三.解答题
2

B

N

A

离之和

x2 y2 ? ?1 9 4
2

4 (17)已知命题 p : 方程 x ? mx ? 1 ? 0 有两个不等的负实数根;命题 q : 方程 4 x ? (m-2)x ? 1 ? 0 无实数根.
若“ p 或 q ”为真命题, p 且 q ”为假命题,求 m 的取值范围.? “ 解:由 p 得: ?

1? 1 ? 即数列 ?a n ? ? 为一等比数列,公比 q ? .???????????????????6 分 2? 3 ? 1? 1 1 2 1 1 ? (Ⅱ)由(1)得 ?a n ? ? 为一公比为 q ? ,a1 ? ? ? ? 的等比数列,??????????8 分 2? 3 2 3 2 6 ?

?? ? m 2 ? 4 ? 0 , m ? 2 ??????????????????????3 分 则 ?m ? 0
2 2

则 a n ? ? ? ( )n ?1

1 2

1 1 6 3

∴ a n ? ? ( )n ? ,????????????????????????10 分

1 1 2 3

1 2

1 1 1 1 n 3n ? 1 n Sn ? ( ? 2 ? ?+ n ) ? ? ? ?????????????????????????12 分 2 3 3 2 4 ? 3n 2 3

由 q 知: ?? = 16(m ? 2) ? 16 ? 16(m ? 4m ? 3) ? 0 ,则 1 ? m ? 3 ???????????? 6 分
2

(20) 我国发射的天宫一号飞行器需要建造隔热层.已知天宫一号建造的隔热层必须使用 20 年, 每厘米厚的隔热层建 造成本是 6 万元,天宫一号每年的能源消耗费用 C(万元)与隔热层厚度 x (厘米)满足关系式:

C ?x ? ?

k 为隔热层建造费用与使用 20 年的 f ?0 ? x ? 10 ? ,若无隔热层,则每年能源消耗费用为 8 万元.设 (x) 3x ? 5

平面 BCD 的一个法向量为: n ? ?0,0,1? ???????8 分 设平面 B1 CD 的法向量为 n 2 ? ( x, y,1) ,

能源消耗费用之和. (I)求 C ( x) 和 (x) 的表达式; f (II)当隔热层修建多少厘米厚时,总费用 (x) 最小,并求出最小值. f (20)解: (I)当 x ? 0 时,C=8,所以 k =40,故 C ?x ? ?

?? ?

20 ? 40 800 ? 6x ? ? 0 ? x ? 10 ? . ?????????6 分 3x ? 5 3x ? 5 800 800 (II) (x) 6 x ? f ? ? 2 ? 3x ? 5 ? ? ? 10 ? 2 1600 ? 10 ? 70, ??9 分 3x ? 5 3x ? 5 800 当且仅当 6 x ? 10 ? ,即x ? 5 时取得最小值.????????????11 分 3x ? 5

40 ?????3 分 3x ? 5

? ?3 x ? 4 z ? 0 ???? ?? ? ??? ?? ? ? ? 由 B1C ? n 2 ? 0 , CD ? n 2 ? 0 , 得 ?12 , 4 ? 5 x? 5 y ?0 ?
所以 x ? ?

(x) 6 x ? f ?

?? ? 4 4 , y ? 4 , n2 ? (? , 4,1) .????????????10 分 3 3

? ? a ?b 3 设二面角 B ? CD ? B1 的大小为 ? , cos ? ? ? ? ? .???????11 分 a b 13
所以二面角 B ? CD ? B1 的余弦值为

即隔热层修建 5 厘米厚时,总费用达到最小值,最小值为 70 万元.?????12 分 (21) (本小题满分 12 分) 已知直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, AB ? 5, AC ? 4, BC ? 3 , AA1 ? 4 ,点 D 在 AB 上. (Ⅰ)若 D 是 AB 中点,求证: AC1 ∥平面 B1CD ; (Ⅱ)当

3 .????????12 分 13
3 .如图,平行于 OM 的直线 l 交椭圆 2

(22)已知中心在原点 O 、焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点 M (2,1) ,离心率为

BD 1 ? 时,求二面角 B ? CD ? B1 的余弦值. AB 5
C1 B1 A1

C 于不同的两点 A, B . (Ⅰ)当直线 l 经过椭圆 C 的左焦点时,求直线 l 的方程; (Ⅱ)证明:直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.

21. 证明: (Ⅰ)证明:连接 BC1 ,交 B1C 于 E , E 是 BC1 的中点 连接 DE .∵ D 是 AB 中点, DE 为 D ABC1 的中位线, ∴ DE ∥ AC1 ?????????????2 分 ∵ DE ? 平面 B1CD , AC1 ? 平面 B1CD , B ∴ AC1 ∥平面 B1CD .?????????????4 分 (Ⅱ)∵ AC ? BC ,所以如图,以 C 为原点建立空间直角坐标系

E
C D 第 21 题图 A 解: (Ⅰ)根据 e ?

c 3 x2 y2 ,可设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 , ? a 2 4b b

将 M (2,1) 代入可得 b2 ? 2 ,???????? 1 分

C ? zyz .


B(3,0,0)



A(0, 4,0)



B1 (3, 0, 4)





x2 y 2 ? ? 1 ???????? 2 分 8 2 1 因此左焦点为 (? 6,0) ,斜率 kl ? kOM ? ???????? 3 分 2 1 6 1 所以直线 l 的方程为 y ? ( x ? 6) ,即 y ? x ? ???????? 4 分 2 2 2
所以椭圆 C 的方程为 (Ⅱ)设直线 MA, MB 的斜率分别为 k1 , k2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,则 k1 ? 设l : y ?

D (a,b,0) (a ? 0, b ? 0) ,???????5 分
∵点 D 在线段 AB 上,且 ∴a ?

??? 1 ??? ? ? BD 1 ? ,即 BD ? BA . AB 5 5

y1 ? 1 y ?1 , k2 ? 2 x1 ? 2 x2 ? 2

12 4 , b ? .???????7 分 5 5 ???? ??? ? 12 4 所以 B1C ? (?3, 0, ?4) , CD ? ( , , 0) . 5 5
3

1 x?m, 2
y1 ? 1 y2 ? 1 ( y1 ? 1)( x2 ? 2) ? ( y2 ? 1)( x1 ? 2) ? ? x1 ? 2 x2 ? 2 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

k1 ? k2 ?

1 1 ( x1 ? m ? 1)( x2 ? 2) ? ( x2 ? m ? 1)( x1 ? 2) 2 2 ? ( x1 ? 2)( x2 ? 2)
? x1 x2 ? (m ? 2)( x1 ? x2 ) ? 4(m ? 1) (*)??????????????? 7 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

1 ? ?y ? 2 x ? m ? 由? 2 ,得 x2 ? 2mx ? 2m2 ? 4 ? 0 2 ? x ? y ?1 ?8 2 ?
所以, x1 ? x2 ? ?2m , x1 x2 ? 2m2 ? 4 ?????????????????????? 10 分 代入(*)式,得 k1 ? k2 ?

2m2 ? 4 ? (m ? 2)(?2m) ? 4(m ? 1) ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?

2m 2 ? 4 ? 2m 2 ? 4m ? 4m ? 4 ??????????????? 11 分 ( x1 ? 2)( x2 ? 2)

?0
所以直线 MA, MB 与 x 轴总围成等腰三角形.?????????????? 12 分

4



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