宁夏银川一中 2012-2013 学年高一上学期期末考试数学试题
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分）
1．不共面的四点可以确定平面的个数为
()
A． 2 个
B． 3 个
C． 4 个
D．无法确定
2．利用斜二测画法得到的
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形； ④菱形的直观图一定是菱形.
以上结论正确的是
()
A．①②
B． ①
C．③④
D． ①②③④
3．设 l ， m 是两条不同的直线，? 是一个平面，则下列命题正确的是
A. 若 l ? m ， m ? ? ，则 l ? ?
B. 若 l ? ? ， l//m ，则 m ? ?
C. 若 l//? ， m ? ? ，则 l//m
D. 若 l//? ， m//? ，则 l//m
4. 直线 x ? y ?1 ? 0 的倾斜角与其在 y 轴上的截距分别是
() ()
A． 135? ,1
B. 45? ,?1
C. 45? ,1
D.135? ,?1
5．如果 AB ? 0 ， BC ? 0 ，那么直线 Ax ? By ? C ? 0 不经过的象限是
()
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
6．已知直线 l1 : y ? ?x ? 2a 与直线 l2 : y ? (a 2 ? 2)x ? 2 平行，则 a 的值为
()
A． ? 3
B. ? 1
C. 1
D. ? 1
7. 如图在三棱锥 A ? BCD 中,E? F 是棱 AD 上互异的两点,G? H
是棱 BC 上互异的两点,由图可知
①AB 与 CD 互为异面直线;②FH 分别与 DC? DB 互为异面直线;
③EG 与 FH 互为异面直线;④EG 与 AB 互为异面直线.
其中叙述正确的是
A.①③
B.②④
C.①②④
D.①②③④
()
8．在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AB ? AD =2 3 ， CC1 = 2 ，则二面角 C ? BD ? C1
的大小是
()
A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
9. 把 3 个半径为 R 的铁球熔化铸成一个底面半径为 R 的圆柱（不计损耗），则圆柱的高为
()
A． 2R
B． 3R
C． 4R
D． 9 R 2
10．半径为 r 的球在一个圆锥内部，它的轴截面是一个正三角形与其内切圆，则圆锥的全面
积与球面面积的比是
A．2∶3
B．3∶2
C．4∶9
D．9∶4
11. 已知 a, b 满足 a ? 2b ? 1 ，则直线 ax ? 3 y ? b ? 0 必过定点
() ()
A． ??－ 1 ， 1 ?? ? 6 2?
B． ?? 1 ， 1 ?? ?2 6?
C． ?? 1 ， - 1 ?? ?2 6?
D． ?? 1 ，－ 1 ?? ?6 2?
12. 如图在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，其中 AB ? BC ， E，F 分别是 AB1 ， BC1 的中点，
则以下结论中
① EF 与 BB1 垂直；
② EF ⊥平面 BCC1 B1 ；
D1 A1
C1 B1
③ EF 与 C1 D 所成角为 45? ； ④ EF ∥平面 A1 B1C1 D1
E
不．成．立．的是（ A. ②③
） B. ①④
C.③
D
D.①②④ A
F
C B
二、填空题（第小题 4 分，共 16 分）
13. 正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， BB1 与平面 ACD1 所
33
成角的余弦值为
.
11
14．一个多面体三视图如右图所示，则其体积
等于
.
11 131题3题图图
22
15． 直线 x ? ky ? 0 ， 2x ? 3y ? 8 ? 0 和 x ? y ?1 ? 0 交于一点，则 k 的值是
.
16. 两平行直线 l1，l2 分别过点 P（－1，3），Q（2，－1），它们分别绕 P、Q 旋转，但始终保
持平行，则 l1，l2 之间的距离的取值范围是
.
三、解答题
17．（本小题满分 10 分）
求与直线 2x ? 2 y ? 3 ? 0 垂直,并且与原点的距离是 5 的直线的方程.
18．（本小题满分 10 分）
如图所示是一个半圆柱 OO1 与三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的组合体，其中，圆柱 OO1 的轴截 面 ACC1 A1 是边长为 4 的正方形， ? ABC 为等腰直角三角形， AB ? BC . 试在给出的坐标纸上画出此组合体的三视图.
A1
O1
C1
B1
A 正视方向
O C
B 第19题图
19. （本小题满分 12 分）
E
如图所示，△ ABC 是正三角形， AE 和 CD 都垂直于平面 ABC ，
且 AE ? AB ? 2a ， CD ? a ， F 是 BE 的中点. (1)求证： DF ∥平面 ABC ； (2)求三棱锥 E ? ABD 的体积.
20.（本小题满分 12 分）
F A
B
如图，直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC ＝BC ＝1，∠ACB ＝90°，A
AA1 ＝ 2 ，D 是 A1B1 中点． （1）求证：C1D ⊥AB1 ； （2）当点 F 在 BB1 上什么位置时，会使得 AB1 ⊥平面
C1DF ？并证明你的结论.
A1 D
D
C
C B
F
C1 B1
21．（本小题满分 12 分）
如图直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A（8，0）、B（0，6）两点，P 为直线 l 上异
于 A、B 两点之间的一动点. 且 PQ∥OA 交 OB 于点 Q．
（1）若 ?PBQ 和四边形 OQPA 的面积满足 S四OQPA ? 3S?PBQ 时，请你确定 P 点在 AB 上
的位置，并求出线段 PQ 的长； （2）在 x 轴上是否存在点 M，使△MPQ 为等腰
直角三角形，若存在，求出点 M 与 P 的坐标；若
不存在，说明理由.
y
B
Q
P
o
A
x
银川一中高一期末数学试卷参考答案
一、选择题（每小题 4 分，共 48 分） 1.C; 2.B; 3.B; 4.D; 5.B; 6.D; 7.A; 8.A; 9.C; 10.D; 11.C; 12.A. 二、填空题（第小题 4 分，共 16 分）
13. 6 ; 14. 5 3 ;
3
6
15. - 1 ; 2
16.（0,5] .
三、解答题
17．解：因直线斜率为 k =1，可设直线方程 y=x+b，化为一般式 x－y+b=0，------3 分
由直线与原点距离是 5，得 | 0 ? 0 ? b | ? 5 -------------------------6 分 12 ? (?1)2
?| b |? 5 2 ?b ? ?5 2 ，-----------------------------8 分
所以直线方程为 x-y+5 2 =0,或 y－5 2 =0. ----------------------------10 分
18．解：正视图--------------------3 分 左视图--------------------3 分 俯视图--------------------4 分
正视图
左视图
E
19.解：（1）设 G 为 AB 的中点，连 FG,GC ，则
俯视图
H
F
A
D
G
B
C
GF ∥ AE 且 GF ? 1 AE --------------2 分 2
又 CD ∥ AE 且 CD ? 1 AE 2
∴ CD ∥ GF 且 CD ? GF ，即四边形 CDFG 为平行四边形.------------4 分 ∴ DF ∥ GC 又 GC ? 平面 ABC ∴ DF ∥平面 ABC ---------------------------------------6 分 注：若学生用面面平行的性质解答，即证平面 DFH ∥平面 ABC ，按相应步骤给分. （2）∵ CG ? AB 又 EA ? 平面 ABC ，知 EA ? CG ∴ CG ? 平面 ABE 由（1）知 DF ? 平面 ABE
∴ DF ? CD ? 3a --------------------------------------------------8 分
又 S ?ABE
?
1 2
AB ?
AE
? 2a 2
∴VE ? ABD
? VD? ABE
?
1 3
S ?ABFE
? DF
?
23 3
a 3 --------------------12 分
20．解：（1）证明：如图，∵ ABC—A1B1C1 是直三棱柱，
∴ A1C1 ＝B1C1 ＝1，且∠A1C1B1 ＝90°．
又 D 是 A1B1 的中点，∴ C1D ⊥A1B1 ．-------------3 分
∵ AA1 ⊥平面 A1B1C1 ，C1D ? 平面 A1B1C1 ，
∴ AA1 ⊥C1D ，∴ C1D ⊥平面 AA1B1B ．
∴C1D ⊥AB1-----------------------------------6 分
（2）解：作 DF ⊥AB1 交 AB1 于 E ，DF 交 BB1 于 F ，连结 C1F ， 又由（1）C1D ⊥AB1 则 AB1 ⊥ 平 面 C1DF ， 点 F 即 为 所
求．---------------------9 分
连 A1 B ∵ A1 B1 ? AA1 ? 2 即四边形 ABB1 A1 为正方形.
∴ A1 B ? AB1 ∴ A1 B ∥ DF 又 D 是 A1B1 的中点，点 F 为 BB1 的中点.------------12 分
21.解：（1）
? S ?BPQ
?
1 3 S四OQPA
? S ?PBQ
?
1 4 S ?AOB
?
S ?PBQ S ?AOB
? ( AP )2 AB
? 1 ? AP 4 AB
?
1 2
即 P 为 AB 的中点， ∴PQ= 1 AO =4 .--------------------------4 分 2
（2）由已知得 l 方程为 3x+4y=24 (*)
y
B
Q
P
y
B
Q
P
y
B
Q
P
① oM
Ax o M Ax
o
当∠
OA 且|PQ|=|MQ|此时 M 点与原点 O 重合，设 Q（0，a）则 P(a,a)
M
Ax
PQM=90°时，由 PQ∥
有(a,a)代入(*)式得 a= 24 . 7
点 M 、 P 的坐标分别为（0，0），（ 24 , 24 ）----------------------6 分 77
②当∠MPQ=90°，由 PQ∥OA 且|MP|=|PQ|设 Q（0，a,）则 M（0, a）, P（a,a）进而
得 a= 24 7
∴点 M 、 P 的坐标分别为（ 24 ，0），（ 24 , 24 ）----------------------8 分
7
77
③当∠PMQ=90°，由 PQ∥OA，|PM|=|MQ| 且|OM|=|OQ|= 1 |PQ| 2
设 Q（0，a,）则 M（a，0）点 P 坐标为(2a,a)代入(*)式 得 a= 12 . 5
∴点 M 、 P 的坐标分别为（ 12 ，0），（ 24 , 12 ）----------------------12 分
5
55