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吉林省长春二中2012-2013学年高一上学期期末考试数学试题

一.选择题(每个题答案是唯一的,请把你认为正确的答案填在答题卡的表格内,每题 4 分, 共 48 分) 1. 已知 A={x︱-1 ? x ? 2},B={x︱ 0 ? x ? 3 },全集 U=R,则 B ? (CU A) =( ) A.{x︱ 2 <x ? 3 } B.{x︱ 2 ? x ? 3 } C.{x︱ 2 ? x ? 3 } D.{x︱0<x ? 3 } 2. sin 15°cos 75°+cos 15°sin 75°等于( ) A.0 B. 1 2 C. 3 2 D.1 3.在平行四边形 ABCD 中, AB ? CD ? BD 等于( ) A. DB B. AD C. AB 4.已知 cos(? ? x) ? 3 , x ? (? ,2? ) ,则 tanx 等于( 5 A. ? 3 B. ? 4 C. 3 4 3 4 5. 已知向量 a ? (4,2),向量b ? (x,3),且a ∥ b ,则 x=( A.9 B.6 C.5 D. AC ) D. 4 3 ) D.3 6.设 a ? ( 3) 2 5 , b ? ( 2 ) 3 5 , c ? ( 2 ) 2 5 ,则 a,b,c 的大小关系是( ) 5 5 5 A.a>c>b C.c>a>b B.a>b>c D.b>c>a 7. 函数 y ? 1 ? 2sin x cos x 的最小正周期为( ) A. 1 ? B.π C.2π 2 8.若函数 f (x) ? x 2 ?1(x ? ?1),则f ?1 (4)的值为( D.4π ) A. 5 B. ? 5 C.15 D. 3 9. 将函数 f (x) ? sin(2x ? ? ) 的图像左移 ? ,再将图像上各点横坐标压缩到原来的 1 ,则所得到 3 3 2 的图象的解析式为( ) A y ? sin x B y ? sin(4x ? 2? ) 3 C y ? sin(4x ? ? ) 3 D y ? sin(x ? ? ) 3 10. 若| a |? 2 , | b |? 2 且( a ? b )⊥ a ,则 a 与 b 的夹角是 ( ) A. ? B. ? 6 4 C. ? D. 5 ? 3 12 11 根据表格中的数据,可以判断方程 ex-x-2=0 必有一个根在区间( ) x -1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.78 7.39 20.09 x+2 1 23 4 5 A.(-1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 12.设 a ? (4,3), a在b上的投影为 5 2 ,b在x轴上的投影为2,且 b ? 14,则b 为( ) 2 A.(2,14) B. (?2, 2) 7 二、填空(每空 4 分共 16 分) C. (2,? 2) 7 D.(2,8) 13. log x ( 2 ? 1) ? ?1,则 x= 14. tan? ? 1 ,求 sin? ? 3cos? = 2 sin? ? cos? 15. 函数 y= log 1 (3x ? 2) 的定义域是 2 16. 已知△ABC 为等边三角形, AB=2 ,设点 P,Q 满足 AP=? AB , AQ=(1? ?) AC , ? ? R ,若 BQ ?CP= ? 3 ,则 ?= 2 三、解答题(56 分) ? ? ? ? 17.(8 分)已知 A= x x2 ? 8x ? 15 ? 0 , B ? x ax ?1 ? 0 ,若B ? A ,求实数 a . 18. (8 分)已知函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,|φ |<π )的 一段图象(如图)所示. ①求函数的解析式; ②求这个函数的单调增区间 19.(10 分)已知 a ? 3, b ? 4, 求(1)a ? b 的范围;(2)若 2a ? b ? 12,求 a ? b的值 。 20.(10 分)设向量 a ? (sin x, cos x),b ? (cos x, cos x), x ? R ,函数 f (x) ? a ?(a ? b) . (Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f (x) ? 3 成立的 x 的取值范围. 2 21. (10 分)设 f(x)是定义在(0, ? ? )上的单调增函数,满足 f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1 求:(1)f(1); (2)若 f(x)+f(x-8)≤2,求 x 的取值范围。 22.(10 分)设 f (x) ? log 1 2 1? ax x ?1 为奇函数, a 为常数. (1)求 a 的值;(2) 证明 f (x) 在区间(1,+∞)内单调递增; (3)若对于区间[3,4]上的每一个 x 的值,不等式 f (x) > (1 )x ? m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 2 21.解:(1)∵ (2) 即 ,∴f(1)=0。 ,从而有 f(x)+f(x-8)≤f(9), ,∵f(x)是(0,+∞)上的增函数,故 ,解之得:8<x≤9。 22. (1)∵ f(-x)=-f(x),∴ log 1 2 1? ax ?1? x ? ? log1 2 1? ax x ?1 ? log1 2 x ?1 1? ax . ∴ 1? ax ? x ?1 ,即 (1? ax)(1? ax) ? ?(x ?1)(x ?1) ,∴a=-1. ?x ?1 1? ax (2)由(1)可知 f(x)= log1 2 x ?1 x ?1 ? log1 (1? 2 2 ) (x>1) x ?1 记 u(x)=1+x-2 1 , 由定义可证明 u(x)在(1,+∞)上为减函数, ∴ f(



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