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专升本概率论复习题

考试范围:第一章,第二章,第四章
考试题型:6 个小题,5 个大题 一、小题例题: 例 1、事件 A、B 独立,P(A)=0.3,P(A B)=0.7,求 P(B).【考点:加法公式,独立性】 解:加法公式:P(A B)=P(A)+P(B)-P(AB) 有 A、B 独立,则 P(AB)=P(A)P(B) P(A B)=P(A)+P(B)- P(A)P(B),即 0.7=0.3+P(B)- 0.3P(B),则 P(B)= 例 2、P(A)= ,P(B)= ,P(AB)= ,求 P(B| ).【考点:对立事件,条件概率】 解:P(B| )=

例 3、X 的分布函数为 F(x)=

,求 X 的分布律.

解:

X

-1

5

pk

例 4、X~N(1,4),y 的概率密度为

,又 其他

正态分布,指数分布,特殊分布的期望和方差,协方差】

解:

,cov(X,Y)=2

,求 cov(X,Y).【考点:

例 5、袋中有 a 个黑球,b 个白球,每次从中取球一只,取后不放回,从中连续取球两次, 求第二次取到白球的概率.【考点:不放回抽样】 解:A:第二次取到白球 B1:第一次取球为黑球 P(B1)=

B2:第一次取球为白球 P(B2)=

P(A)=

+

=

二、大题例题: 第一章:

例 1、袋中有 6 球,4 白 2 红,从袋取球两个,作放回抽样,求以下事件的概率.

①两个白球②两球同颜色③至少有一个白球【考点:古典概率(等可能概率)】

解:6 个球按顺序排列,1、2、3、4、5、6,前四个为白球,后两个为红球

i:第一次取球号码

j:第二次取球号码

(ij):n=6 6

j

i1

2

3

4

5

6

1

11

21

31

41

51

61

2

12

22

32

42

52

62

3

13

23

33

43

53

63

4

14

24

34

44

54

64

5

15

25

35

45

55

65

6

16

26

36

46

56

66

①A:两次取到白球

A:包含 k=4 4 个基本事件

P(A)

②B:两次取到红球 B:包含 k=2 2 个基本事件

P(B)

C:两次取球同色 C=A B

由有限加性 P(A B)=P(A)+P(B)=

③D:至少取到一个白球 D 与 B 互为对立事件,D= ,P(D)=P( )

由对立事件的性质 P(D)=P( )=1- P(B)=

例 2、彩票号码 1~2000,某人从中随机抽取一张,若抽到的号码既不能被 6 整除,也不能被 8 整除,则他中奖,问此人中奖的概率为何?【考点:加法公式,对偶律】 解:A:抽到的号码能被 6 整除 B:抽到的号码能被 8 整除

C:抽到的号码既不能被 6 整除也不能被 8 整除 1~2000 中能被 6 整除的有 333 个, 1~2000 中能被 8 整除的有 250 个, 1~2000 中能被 6 和 8 共同整除的有 83 个,

(24 为 6 和 8 的最小公倍数)

C=

, P(C)=P(

)=P(

)=1-P(

)=1-[ P(A)+P(B)-P(AB)]=1-(

)=

例 3、某训练班由甲、乙两单位的人员构成,其中甲单位人员占 40%,乙单位人员占 60%,

若甲单位学员及格率为 75%,乙单位学员及格率为 50%,问全班学员及格率是多少?在全体

合格学员中,甲、乙单位人员各占多大的比例?【考点:全概率公式,贝叶斯公式】

解:在全体学员中随机抽取 1 人,A:抽到的学员为及格生.

B1:抽到的学员为甲单位人员,B2:抽到的学员为乙单位人员. B1、B2 为样本空间的一个分割. 全概率 P(A)=P(B1)P( B1)+ P(B2)P( B2)=0.4 0.75+0.6 0.5=0.6

贝叶斯 P(B1 )=

==

P(B2 )=

==

例 4、I1、I2 串联,I3、I4 串联,同时 I1 串 I2 与 I3 串 I4 并联,四个电键闭合与否相互独立, 又每个电键闭合的概率为 p(0<p<1),问系统中电流通过的概率为多大?【考点:加法公式、 事件独立性】 解:A:系统中电流通过. Ai:第 i 个电键闭合(i=1、2、3、4). A=A1A2 A3A4,P(A)=P(A1A2 A3A4)=P(A1A2)+P(A3A4)-P(A1A2 A3A4) =P(A1)P(A2)+P(A3)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)=p2+p2-p4=2p2-p4 第二章: 例 1、汽车到达目的地的路上有四个信号灯,各个信号灯亮红灯与否相互独立,且每个信号 灯亮红灯的概率为 p(0<p<1),X:汽车第一次停下时所经过的信号灯数,求 X 的分布律. 解:分析可得,X 可取 0,1,2,3,4 这 5 个值. X 的分布律如下:

X

0

1

2

3

4

pk

p

(1-p)p

(1-p)2p

(1-p)3p

(1-p)4

例 2、共进行了 400 次相互独立的射击,每次中靶的概率皆为 0.02,问至少中靶两次的概率 为何?【考点:二项分布,伯努利试验】 解:X:400 次射击中中靶的次数,X~b(400,0.02). P(X )=1-P(X<2)=

【近似公式】

同时,规定 0!=1.

式中

.

则 例 3、




X

-1

pk

,其中

.(k=0,1,2, )(泊松公式)

,则 P(X )=1-9e-8.


2

3

求 F(x),P(X ),P( <X ).【考点:分布函数 F(x)】

解:F(x)= P(X )=P P(X )= F( )= .







.





P( <X )= F( )- F( )= = .

例 4、X~N(1,4),求 P(0<X≤1.6).【考点:正态分布、标准正态分布及 X 的标准化】

解 : P(0<X ≤ 1.6)=P(X≤ 1.6)-P(X ≤ 0)=P( ≤ 0.3)-P( ≤ -0.5)=

【课本 382 页查表可得结果,考试中会给出相应参数】 例 5、实际温度 X~N(d,0.52),(单位℃),若欲 P(X≥80)≥0.99,问 d 至少要定在多少度? 解:设定在 d℃,X~N(d,0.52)

0.99≤P(X≥80)=1-P(X<80)=1-P(X≤80)=1-P( ≤ )=1-

=

查表得

=0.99,则



.

答:至少要定到 81.164℃.

例 6、X 的分布律如下:

X

-1

0

1

2

pk

0.2

0.3

0.1

0.4

又 Y=(X-1)2,求 Y 的分布律.【考点:随机变量函数的分布】 解:Y=(X-1)2

Y

4

1

0

1

X

-1

0

1

2

pk

0.2

0.3

0.1

0.4

则 Y 的分布律为:

Y

0

1

4

pk

0.1

0.7

0.2

例 7、 解:

,Y=2X+8,求 . 其他

第四章:

例 1、

到站点时间

8:10

8:30

8:50

9:10

9:30

9:50

概率

①旅客 8:00 到站②旅客 8:20 到站

X:旅客候车时间(分),求 E(X).【考点:数学期望 E(X)】

解:①X 的分布律如下:

X

10

30

50

pk

E(X)=10 +30 +50 =

② X 的分布律如下:

X

10

30

50

70

90

pk

E(X)=10 +30 +50 +70 +90 =

其他

例 2、景区观光大巴有 20 人,有 10 处景点站,有人下车即停,乘客在各站下车概率相同,

均为 ,各个乘客下车概率均相互独立,X:汽车停车总次数,求 E(X). 【考点:数学期望

E(X)】

解:定义随机变量 Xi 为汽车在第 i 个车站停车次数(i=1、2、 、10),则 Xi 的分布律为

Xi

0

1

pk

(1- )20

1-(1- )20

E(Xi)= 1-(1- )20=1-( )20(i=1、2、 、10) X=X1+X2+ +X10 E(X)=E(X1+X2+ +X10)=10 E(Xi)=10[1-( )20] 【考点】书上 379 页几种常用概率分布的期望 E(X)和方差 D(X): ①0-1 分布②二项分布③泊松分布④均匀分布⑤正态分布⑥指数分布 【考点】书上 380 页协方差 cov(X,Y),相关系数 .




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