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2007年~2010年考研数学二真题及部分答案24p

2010 年考研数学·二真题 一 填空题(8×4=32 分)

2009 年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:1~8 小题,每小题 8 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内。
(1)函数 f ( x) ? (A) 1

x ? x3 2 与 g ( x) ? x ln(1 ? bx) 是等价无穷小,则() sin nx
(C)3 (D)无穷多个
2

(B)2

(2)当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? sin ax 与 g ( x) ? x ln(1 ? bx) 是等价无穷小,则() (A) a ? 1, b ? ?

1 6

(B) a ? 1, b ?

1 6

(C) a ? ?1, b ? ?

1 1 (D) a ? ?1, b ? 6 6

(3)设函数 z ? f ( x, y) 的全微分为 dz ? xdx ? ydy ,则点(0,0) () (A)不是 f ( x, y) 的连续点 (C)是 f ( x, y) 的极大值点 (4)设函数 f ( x, y) 连续,则 (A) (C) (B)不是 f ( x, y) 的极值点 (D)是 f ( x, y) 的极小值点

? dx?
1

2

2

x

f ( x, y)dy ? ? dy ?
1

2

4? y y

f ( x, y)dx =()

?

2

1

dx ?

4? y

1

f ( x, y )dy

(B) (D)

?

2

1

dx ?

4? x

x

f ( x, y)dy

?

2

1

dx ?

4? y

1

f ( x, y )dx

? dx ?
1

2

2

y

f ( x, y )dx
2 2

(5)若 f ??( x) 不变号,且曲线 y ? f ( x) 在点( 1,1)的曲率圆为 x ? y ? 2 ,则 f ( x) 在 区间(1, 2)内() (A)有极值点,无零点 (C)有极值点,有零点

(B)无极值点,有零点 (D)无极值点,无零点

(6)设函数 y ? f ( x) 在区间 [-1,3]上的图形为

则函数 F ( x) ?

?

x

0

f (t )dt 为()

(7)设A、B 均为 2 阶矩阵, A , B 分别为 A、B 的伴随矩阵。若 |A|=2,|B|=3,则分块矩

?

?

阵?

?0 ?B

A? ? 的伴随矩阵为() 0?

(A) ?

? 0 ? 2A
?

3B ? ? ? 0 ?

(B) ?

? 0 ? 3A
T
?

2 B? ? ? 0 ?

(C) ?

? 0 ? 2B
?

3 A? ? ? 0 ?

(D) ?

? 0 ? 3B
?

2 A? ? ? 0 ?

?1???0???0 ? ? ? (8)设 A,P 均为 3 阶矩阵, P 为 P 的转置矩阵,且 P AP= ? 0???1???0 ? ,若 ? 0???0???2 ? ? ?
T

P ? (?1,? 2 ,?3 ), Q ? (?1 ? ? 2 ,? 2 ,?3 ) ,则 QT AQ 为()

? 2???1???0 ? ?1???1???0 ? ? 2???0???0 ? ?1???0???0 ? ? ? ? ? ? ? ? ? (A) ? 1????????? ? (B) ? 1???2???0 ? (C) ? 0???1????? ? (D) ? 0???2???0 ? ? ????????? ? ? 0??0???? ? ? ????????? ? ? 0???0???2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?
二、填空题:9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位 置上。

? x ? 1? t e?u 2 du ? ?0 (9)曲线 ? 在(0, 0)处的切线方程为____________ 2 2 ? ? y ? t ln(2 ? t )
(10)已知

??? e

??

k | x|

dx ? 1 ,则 k=____________

(11) lim

n ?? 0

?e

1

?x

sin nxdx =___________

(12)设 y ? y ( x) 是方程 xy ? e y ? x ? 1 确定的隐函数,则 (13)函数 y ? x 在区间(0,1]上的最小值为_________
2x

dy 2 |x ? 0 =____________ dx 2

? 2???0???0 ? ? ? (14)设 ? , ? 为 3 维列向量, ? 为 ? 的转置,若 ? 相似于 0???0???0 ,则 ? ? ? 0???0???0 ? ? ?
T T

? T ? =___________
三、解答题: 15-23 小题,共 94 分。请将解答写在答题纸指定的位置上。解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1 ? cos x)[ x ? ln(1 ? tan x)] (15) (本题满分 9 分)求极限 lim x ?0 sin 4 x
(16) (本题满分 10 分)计算不定积分 ln(1 ?

?

1? x )dx( x ? 0) x

(17) (本题满分 10 分)设 z ? f ( x ? y, x ? y, xy) ,其中 f 具有 2 阶连续偏导数,求 dz 与

?2 z ?x?y
(18) (本题满分 10 分)设非负函数 y=y(x)(x ? 0),满足微分方程 xy?? ? y? ? 2 ? 0 ,当曲线 y=y(x)过原点时,其与直线 x=1 及 y=0 围成平面区域的面积为 2,求 D 绕 y 轴旋转所得旋转 体体积。 (19) (本题满分 10 分)求二重积分

?? ( x ? y)dxdy ,其中
D

D ? {( x, y) | ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2, y ? x}
(20) (本题满分 12 分)设 y=y(x)是区间 (? , ?? ) 内过点 (?

?
2

,

?
2

) 的光滑曲线,当

?? ? x ? 0 时,曲线上任一点处的发现都过原点,当 0 ? x ? ? 时,函数 y(x)满足
y?? ? y ? x ? 0 。求 y(x)的表达式。
(21) (本题满分 11 分) (I)证明拉格朗日中值定理:若函数 f ( x) 在[a,b]上连续,在(a,b) 可导,则存在 ? ? (a, b ) ,使得 f (b) ? f ( a) ? f ? (? )(b ? a )。 ( II )证明:若函数 f ( x) 在 x=0 处连续,在 (0, ? )(? ? 0) 内可导,且 lim f ?( x) ? A 则 f ??(0)
x ?0 ?

存在,且 f ??(0) ? A 。

? 1 ?1 ?1 ? ? ?1 ? ? ? ? ? 1 ? , ? 1 ? ? ??1 ? (22) (本题满分 11 分)设 A ? ?1 1 ? ? 0 ?4 ?2 ? ? ?2 ? ? ? ? ?
(I)求满足 A? 2 ? ? 1 , A2? 3 ? ? 1 的所有向量 ? 2 , ? 3 ; (II)对(I)中的任一向量 ? 2 , ? 3 ,证明: ? 1 , ? 2 , ? 3 线性无关。 (23) (本题满分 11 分)设二次型 f ( x1, x2 , x3 ) ? ax1 ? ax2 ? (a ? 1) x3 ? 2 x1x3 ? 2 x2 x3
2 2 2

(I)求二次型 f 的矩阵的所有特征值; (II)若二次型 f 的规范形为 y1 ? y2 ,求 a 的值。
2 2

2008 考研数学二真题
一、选择题: (本题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分 . 每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内) (1)设 f ( x) ? x 2 ( x ? 1)( x ? 2) ,则 f ?( x) 的零点个数为( (A) 0. (B) 1. (C) 2. ). (D) 3 .
a 0

(2)曲线方程为 y ? f ( x) , 函数在区间 [0, a] 上有连续导数, 则定积分 ? xf ?( x)dx 在 几何上表示( ). (A) 曲边梯形 ABOD 的面积. (C) 曲边三角形 ACD 面积. (B) 梯形 ABOD 的面积. (D) 三角形 ACD 面积.

(3)在下列微分方程中, 以 y ? C1e x ? C2 cos 2 x ? C3 sin 2 x( C1 , C2 , C3 为任意的常数) 为通解的是( (A) (C) ). (B) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 . (D) y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 . ).
y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 .

y??? ? y?? ? 4 y? ? 4 y ? 0 .

(4) 判定函数 f ( x) ?

ln | x | sin x 间断点的情况( | x ? 1|

(A) 有 1 可去间断点,1 跳跃间断点.(B) 有 1 跳跃间断点,1 无穷间断点. (C) 有 2 个无穷间断点. (D) 有 2 个跳跃间断点. (5)设函数 f ( x) 在 (??, ??) 内单调有界,{xn } 为数列,下列命题正确的是( (A) 若 {xn } 收敛,则 { f ( xn )} 收敛 ).

(B) 若 {xn } 单调,则 { f ( xn )} 收敛

(C) 若 { f ( xn )} 收敛,则 {xn } 收敛. (6)设函数 f 连续,若 F (u, v) ? ??
Duv

(D) 若 { f ( xn )} 单调,则 {xn } 收敛.

f ( x2 ? y 2 ) x2 ? y 2

dxdy ,其中区域 Duv 为图中阴影部分,



?F ?( ?u

). (B) vf (u ) (C)

(A) vf (u 2 )

v f (u 2 ) u

(D)

v f (u ) u

(7) 设 A 为 n 阶非零矩阵, E 为 n 阶单位矩阵.若 A3 ? 0 ,则下列结论正确的是 ( ). (A) E ? A 不可逆, E ? A 不可逆 . (C) E ? A 可逆, E ? A 可逆. (B) E ? A 不可逆, E ? A 可逆. (D) E ? A 可逆, E ? A 不可逆. ).

?1 2? (8) 设 A ? ? ? ,则在实数域上,与 A 合同矩阵为( ?2 1? ? ?2 1 ? (A) ? ? . ? 1 ?2 ? ? 2 ?1? (B) ? ?. ? ?1 2 ?

?2 1? (C) ? ? . ?1 2?

(D)

? 1 ?2 ? ? ? ? ?2 1 ?
. 二、填空题: ( 9-14 小题,每小题 4 分,共 24 分 . 把答案填在题中横线上) (9)已知函数 f ( x) 连续,且 lim
x?0

1 ? cos[ xf ( x )] ? 1 ,则 f (0) ? (e x ? 1) f ( x)
. .

(10)微分方程 ( y ? x 2e? x )dx ? xdy ? 0 的通解是 (11)曲线 sin( xy) ? ln( y ? x) ? x 在点 (0,1) 处的切线方程为 (12)曲线 y ? ( x ? 5) x 3 的拐点坐标为
2

. .

?z ? y ?y ? (13)设 z ? ? ? ,则 ?x (1,2) ?x?

x

(14)设 3 阶矩阵 A 的特征值为 2,3, ? .若行列式 | 2 A |? ?48 ,则 ? ? ___________. 三、解答题 (15- 23 小题,共 94 分 ). (15)(本题满分 9 分) 求极限 lim
x?0

?sin x ? sin(sin x)? sin x .
x4

(16)(本题满分 10 分)

? x ? x(t ) ? 设函数 y ? y( x) 由参数方程 ? 确定,其中 x ? x(t ) 是初值问题 t2 y ? ? ln(1 ? u )du ? 0 ?

? dx ?x d2y ? ? 2te ? 0 的解,求 2 . ? dt dx ?x ? 0 ? t ?0
(17)(本题满分 9 分)计算 ? (18)(本题满分 11 分) 计算 ?? max{ xy ,1}dxdy ,其中 D ? ?( x, y ) | 0 ? x ? 2,0 ? y ? 2? .
D

1

x 2 arcsin x 1 ? x2

0

dx .

(19)(本题满分 11 分) 设 f ( x) 是区间 [0, ?? ) 上具有连续导数的单调增加函数,且 f (0) ? 1 .对任意的
t ? [0, ?? ) ,直线 x ? 0, x ? t ,曲线 y ? f ( x) 以及 x 轴所围成的曲边梯形绕 x 轴旋

转一周生成一旋转体, 若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的 2 倍, 求函 数 f ( x) 的表达式. (20)(本题满分 11 分) (I) 证明积分中值定理:若函数 f ( x) 在闭区间 [a, b] 上连续,则至少存在一点

? ? [a, b] ,使得 ? f ( x)dx ? f (? )(b ? a ) ;
a

b

(II)

若函数 ? ( x ) 具有二阶导数,且满足 ? (2) ? ? (1) ,? (2) ? ? ? ( x)dx ,证明至
2

3

少存在一点 ? ? (1, 3) ,使得 ? ??(? ) ? 0 . (21)(本题满分 11 分) 求函数 u ? x 2 ? y 2 ? z 2 在约束条件 z ? x 2 ? y 2 和 x ? y ? z ? 4 下的最大值和最小 值. (22) (本题满分 12 分). 设 n 元线性方程组 Ax ? b ,其中

? 2a 1 ? ? 2 ? ? x1 ? ? b1 ? ? a 2a 1 ? 2 ? ? ? ? ? ? a 2a 1 b x A?? ? , x ? ? 2 ?,b ? ? 2 ?. ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a 2 2a 1 ? ? bn ? ? xn ? ? ? 2 ? ? a 2a ? ?
(I)证明行列式 | A |? (n ? 1)a n ; (II)当 a 为何值时,该方程组有惟一解,并求 x1 . (III)当 a 为何值时,该方程组有无穷多解,并求其通解. (23) (本题满分 10 分) 设 A 为 3 阶矩阵, ?1 , ? 2 为 A 的分别属于特征值 ?1,1 的特征向量,向量 ? 3 满足

A? 3 ? ? 2 ? ? 3 ,
(I)证明 ?1 , ? 2 , ? 3 线性无关; (II)令 P ? (?1 , ? 2 , ? 3 ) ,求 P ?1 AP .

2007 年研究生入学考试数学二试题
一、选择题:1~10 小题,每小题 4 分,共 40 分 . 在每小题给出的四个选项中,只有一项符 合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内. (1)当 x ? 0 时,与 ( A) 1 ? e
x
?

x 等价的无穷小量是

( B) ln

1? x 1? x

(C) 1 ?

x ? 1 (D) 1 ? cos x

[

]

(e x ? e) tan x (2) 函数 f ( x) ? 在 ? ?? , ? ? 上的第一类间断点是 x ? ? 1 ? x x?e ? e? ? ?
( A) 0 (B) 1 (C) ?





?
2

(D)

? 2

(3)如图,连续函数 y ? f ( x) 在区间 ? ?3, ?2? , ? 2,3? 上的图形分别是直径为 1 的上、下半 圆周, 在区间 ? ?2,0? , ?0, 2? 的图形分别是直径为 2 的下、 上半圆周, 设 F ( x) ? 则下列结论正确的是:

?

x

0

f (t )dt ,

( A) F (3) ? ? (C) F (3) ?

3 F (?2) 4

3 F (2) 4

5 F (2) 4 5 (D) F (3) ? ? F (?2) 4
(B) F (3) ?

[

]

(4)设函数 f ( x) 在 x ? 0 处连续,下列命题错误的是:

f ( x) f (x) ? f ( ? x) 存在,则 f (0) ? 0 ( B)若 lim 存在,则 f (0) ? 0 . x ?0 x ?0 x x f ( x) f ( x) ? f ( ? x) (B)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 (D)若 lim 存在,则 f ?(0) ? 0 . x ?0 x ? 0 x x
( A)若 lim [ (5)曲线 y ? (A) 0. ]

1 ? ln ?1 ? e x ? 的渐近线的条数为 x
(B) 1. (C) 2. (D) 3. [ ]

(6)设函数 f ( x) 在 (0, ??) 上具有二阶导数,且 f ??( x) ? 0 ,令 un ? f (n) ,则下列结论正 确的是: (A) 若 u1 ? u2 ,则 ?un ? 必收敛. (B) (D) 若 u1 ? u2 ,则 ?un ? 必发散 若 u1 ? u2 ,则 ?un ? 必发散. [ ]

(C) 若 u1 ? u2 ,则 ?un ? 必收敛.

(7)二元函数 f ( x, y ) 在点 ? 0, 0 ? 处可微的一个充要条件是 (A)
( x , y ) ?? 0,0 ?

lim

? f ( x, y) ? f (0, 0)? ? 0 .

(B) lim
x ?0

f ( x, 0) ? f (0, 0) f (0, y ) ? f (0, 0) ? 0, 且 lim ?0. y ? 0 x y
f ( x, y ) ? f (0, 0) x2 ? y 2 ? 0.

(C)

( x , y ) ?? 0,0 ?

lim

(D) lim ? f x? ( x,0) ? f x? (0,0) ? ? 0, 且 lim ? f y? (0, y) ? f y? (0,0) ? ? 0 .
x ?0

?

?

y ?0
1

?

?

(8)设函数 f ( x, y ) 连续,则二次积分

?? dx ?
2

?

sin x

f ( x, y)dy 等于

(A) (C)

? dy ??
0

1

?
? arcsin y

f ( x, y)dx
f ( x, y )dx

( B) ( D)

? dy ??
0

1

?
? arcsin y

f ( x, y)dx
f ( x, y )dx

?

1

0

dy ??

? ? arcsin y

2

?

1

0

dy ??

? ?arcsin y

2

(9)设向量组 ?1 , ? 2 , ?3 线性无关,则下列向量组线性相关的是 线性相关,则 (A) (C)

?1 ? ? 2 , ? 2 ? ?3 ,?3 ? ?1

(B) (D)

?1 ? ? 2 , ? 2 ? ?3 ,?3 ? ?1

?1 ? 2? 2 , ? 2 ? 2?3 , ?3 ? 2?1 .

?1 ? 2? 2 ,? 2 ? 2?3 ,?3 ? 2?1 .

[

]

? 2 ?1 ?1? ?1 0 0? ? ? ? ? (10)设矩阵 A ? ?1 2 ?1 , B ? 0 1 0 ,则 A 与 B ? ? ? ? ? ?1 ?1 2 ? ?0 0 0? ? ? ? ?
(A) 合同且相似 (C) 不合同, 但相似. ( B)合同,但不相似 . (D) 既不合同也不相似 [ ]

二、填空题:11~16 小题,每小题 4 分,共 24 分. 把答案填在题中横线上 . (11) lim
x ?0

arctan x ? sin x ? __________. x3

(12)曲线 ?

? x ? cos t ? cos 2 t ? y ? 1 ? sin t

上对应于 t ?

?
4

的点处的法线斜率为_________.

(13)设函数 y ?

1 (n) ,则 y (0) ? ________. 2x ? 3
2x

(14) 二阶常系数非齐次微分方程 y?? ? 4 y? ? 3 y ? 2e 的通解为 y ? ________. (15) 设 f (u, v) 是二元可微函数, z ? f ?

? y x? ?z ?z , ? ,则 x ? y ? __________. ?x ?y ? x y?

?0 ? 0 (16)设矩阵 A ? ? ?0 ? ?0

1 0 0? ? 0 1 0? 3 ,则 A 的秩为 0 0 1? ? 0 0 0?

.

三、解答题: 17~24 小题,共 86 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (17) (本题满分 10 分) 设 f ( x) 是区间 ? 0, 其中 f
?1

f ( x) x cos t ? sin t ? ?? ?1 f ( t )d t ? t dt , 上单调、 可导的函数, 且满足 ? ? 0 0 sin t ? cos t ? 4? ?

是 f 的反函数,求 f ( x) .

(18) (本题满分 11 分)

设 D 是位于曲线 y ?

xa

?

x 2a

(a ? 1, 0 ? x ? ??) 下方、 x 轴上方的无界区域.

(Ⅰ)求区域 D 绕 x 轴旋转一周所成旋转体的体积 V (a) ; (Ⅱ)当 a 为何值时, V (a) 最小?并求此最小值. (19) (本题满分 10 分)求微分方程 y??( x ? y?2 ) ? y? 满足初始条件 y(1) ? y?(1) ? 1 的特解 (20) (本题满分 11 分)已知函数 f (u ) 具有二阶导数,且 f ?(0) ? 1 ,函数 y ? y( x) 由方程

y ? xe

y ?1

? 1 所确定,设 z ? f ? ln y ? sin x ? ,求

dz dx

x ?0 ,

d2 z dx 2

x ?0

.

(21) (本题满分 11 分) 设函数 f ( x), g ( x ) 在 ? a, b ? 上连续,在 (a , b ) 内具有二阶导数且存在相等的最大值,

f (a) ? g (a), f (b) ? g (b) ,证明:存在 ? ? (a, b) ,使得 f ??(? ) ? g ??(? ) .
(22) (本题满分 11 分)

? x2 , | x | ? | y |? 1 ? 1 设二元函数 f ( x, y ) ? ? ,计算二重积分 ?? f ( x, y )d? , , 1 ?| x | ? | y |? 2 D ? x2 ? y 2 ?
其中 D ?

?? x, y ? | x | ? | y |? 2? .

(23) (本题满分 11 分)

? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? 设线性方程组 ? x1 ? 2 x2 ? ax3 ? 0 与方程 x1 ? 2 x2 ? x3 ? a ? 1 有公共解,求 a 的值及 ? 2 ? x1 ? 4 x2 ? a x3 ? 0
所有公共解. 1….【分析】本题为等价无穷小的判定,利用定义或等价无穷小代换即可.

1? e 【详解】 当 x ? 0 时,

?

x

? ? x , 1 ? x ?1 ?

1 1 x, 1 ? cos x ? 2 2

? x?

2

?

1 x, 2

故用排除法可得正确选项为(B).

ln
事实上, lim ?
x ?0

1? x 1 1 1 ? ? 1 ? x lim ln(1 ? x) ? ln(1 ? x ) ? lim 1 ? x 1 ? x 2 x ? 1 , x ?0? 1 x x ?0? x 2 x

或 ln

1? x ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x ) ? x ? o( x) ? x ? o( x ) ? x ? o( x ) ? x . 1? x

所以应选(B)

【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型,利用等价无穷小代换可简化计算 . 2…【分析】因为函数为初等函数,则先找出函数的无定义点,再根据左右极限判断间断 点的类型. 【详解】函数在 x ? 0, x ? 1, x ? ?

?
2

均无意义,

f ( x) ? lim 而 lim ? ?
x ?0 x ?0

(e x ? e) tan x (e x ? e) tan x ? 0, lim f ( x ) ? lim ? ?1 ; 1 x ?0? x ?0? ? 1 ? ? ? x?ex ? e? x?ex ? e? ? ? ? ?

lim f ( x) ? lim
x ?1

(e x ? e) tan x ? ?; x ?1 ? 1 ? x x?e ? e? ? ?
(e x ? e) tan x ??. ? ? 1 ? x ?? 2 x ex ? e ? ? ? ?

lim f ( x) ? lim
x ??

?

2

所以 x ? 0 为函数 f ( x) 的第一类间断点,故应选( A) . 【评注】本题为基础题型. 对初等函数来讲,无定义点即为间断点,然后再根据左右极限判 断间断点的类型;对分段函数来讲,每一分段支中的无定义点为间断点,而分段点 也可能为间断点,然后求左右极限进行判断. 段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义,可得
2

1 1 1 1 ?1? 3 F (3) ? ? 12 ? ? ? ? ? ? , F (2) ? ? 22 ? ? , 2 2 2 2 ?2? 8
0 2 1 1 f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? 12 ? ? . 0 ?2 0 2 2 3 3 所以 F (3) ? F (2) ? F (?2) ,故选(C). 4 4

F (?2) ? ?

?2

【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便 . 4……【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数, 本题最简便的方法是用赋值法求解,即取符合题设条件的特殊函数 f ( x) 去进行判 断,然后选择正确选项. 【详解】取 f ( x) ?| x | ,则 lim
x ?0

f ( x) ? f ( ? x) ? 0 ,但 f ( x) 在 x ? 0 不可导,故选(D). x

事实上, 在 (A),(B) 两项中,因为分母的极限为 0,所以分子的极限也必须为 0,则可推得

f (0) ? 0 .

lim 在 (C) 中,
x ?0

f ( x) f ( x) ? f (0) f ( x) ? lim ?0, 存在, 则 f (0) ? 0, f ?(0) ? lim x ?0 x ?0 x x?0 x

所以(C)项正确,故选(D) 【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题, 用赋值法求解往往能收到奇效. 5……【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线,然 后判断. 【详解】 lim y ? lim ? ? ln 1 ? e x ? ? ??, lim y ? lim ? ? ln 1 ? e x ? ? 0 , x ??? x ??? x x ??? x ??? x ? ? ? ? 所以 y ? 0 是曲线的水平渐近线;

?1

?

??

?1

?

??

?1 ? lim y ? lim ? ? ln ?1 ? e x ? ? ? ? ,所以 x ? 0 是曲线的垂直渐近线; x ?0 x ?0 x ? ?

1 ex x ? ln ?1 ? e x ? ln ?1 ? e ? x y lim ? lim x ? 0 ? lim ? lim 1 ? e ? 1 , x ??? x x ??? x ??? x ??? x x 1
?1 ? b ? lim ? y ? x ? ? lim ? ? ln ?1 ? e x ? ? x ? ? 0 ,所以 y ? x 是曲线的斜渐近线 . x ??? x ??? x ? ?
故选(D). 【评注】本题为基本题型,应熟练掌握曲线的水平渐近线,垂直渐近线和斜渐近线的求法 . 注意当曲线存在水平渐近线时,斜渐近线不存在. 本题要注意 e 当
x

x ? ??, x ? ?? 时的极限不同.
6……【分析】本题依据函数 f ( x) 的性质,判断数列 ?un ? f (n)? . 由于含有抽象函数,利 用赋值法举反例更易得出结果. 【详解】选(D). 取 f ( x) ? ? ln x , f ??( x) ? 发散,则可排除( A) ; 取 f ( x) ? (B) ; 取 f ( x) ? x , f ??( x) ? 2 ? 0 ,u1 ? 1 ? 4 ? u2 ,而 f (n) ? n 发散,则可排除(C) ;
2 2

1 ? 0 , u1 ? ? ln1 ? 0 ? ? ln 2 ? u2 ,而 f (n) ? ? ln n x2

1 6 1 1 , f ??( x) ? 4 ? 0 , u1 ? 1 ? ? u2 ,而 f (n) ? 2 收敛,则可排除 2 x x 4 n

故选(D). 事实上, 若 u1 ? u2 ,则

u2 ? u1 f (2) ? f (1) ? ? f ?(?1 ) ? 0 . 2 ?1 2 ?1

对任意 x ? ??1 , ?? ? ,因为 f ??( x) ? 0 ,所以 f ?( x) ? f ?(?1 ) ? c ? 0 , 对任意 ?2 ? ??1 , ?? ? , f ( x) ? f (?1 ) ? f ?(?2 ) ? x ? ?1 ? ? ??( x ? ??) .

故选(D). 【评注】对于含有抽象函数的问题,通过举符合题设条件的函数的反例可简化计算. 7…….【分析】本题考查二元函数可微的充分条件. 利用可微的判定条件及可微与连续,偏 导的关系. 【详解】本题也可用排除法, ( A)是函数在 ? 0, 0 ? 连续的定义; (B)是函数在 ? 0, 0 ? 处偏导 数存在的条件; (D)说明一阶偏导数 f x?(0,0), f y?(0,0) 存在,但不能推导出两个一阶 偏导函数 f x?( x, y), f y?( x, y) 在点(0,0) 处连续, 所以 ( A) (B ) (D) 均不能保证 f ( x, y ) 在点 ? 0, 0 ? 处可微. 故应选( C). 事实上, 由
( x , y ) ?? 0,0 ?

lim

f ( x, y ) ? f (0, 0) x2 ? y 2

? 0 可得

lim
x ?0

f ( x, 0) ? f (0, 0) f ( x, 0) ? f (0, 0) x 2 ? lim ? ? 0 ,即 f x?(0,0) ? 0, x ?0 x x x 2 ? 02

同理有

f y?(0,0) ? 0.
从而

[ f (?x ? ,y ? ) f lim
? ?0

(0,? 0 ) f]x? ( ? (x 0? ,0 f y? )

?y ( 0 , 0 )

)

?
? lim
? ?0

= lim
? ?0

f (?x, ?y ) ? f (0, 0)

f (?x, ?y ) ? f (0, 0) (?x)2 ? (?y)2

?

? 0.

根据可微的判定条件可知函数 f ( x, y ) 在点 ? 0, 0 ? 处可微,故应选(C). 【评注】二元函数连续或偏导数存在均不能推出可微,只有当一阶偏导数连续时,才可微. 8,……【分析】本题更换二次积分的积分次序,先根据二次积分确定积分区域,然后写出新 的二次积分. 【详解】由题设可知,

?
2

? x ? ? ,sin x ? y ? 1 ,则 0 ? y ? 1, ? ? arcsin y ? x ? ? ,

故应选( B). 【评注】本题为基础题型. 画图更易看出. 9……..【分析】本题考查由线性无关的向量组 ?1 , ? 2 , ?3 构造的另一向量组 ?1 , ? 2 , ?3 的线性 相关性. 一般令 ? ?1 , ?2 , ?3 ? ? ??1 , ? 2 , ?3 ? A ,若 A ? 0 ,则 ?1 , ? 2 , ?3 线性相关; 若 A ? 0 ,则 ?1 , ?2 , ? 3 线性无关. 但考虑到本题备选项的特征,可通过简单的线性 运算得到正确选项 .

【详解】由 ??1 ? ? 2 ? ? ?? 2 ? ?3 ? ? ??3 ? ?1 ? ? 0 可知应选( A). 或者因为

1 0 ?1 ? 1 0 ?1? ? ? ??1 ? ? 2 , ? 2 ? ?3 ,?3 ? ?1 ? ? ??1 ,? 2 ,? 3 ? ? ?1 1 0 ? ,而 ?1 1 0 ? 0 , ? 0 ?1 1 ? 0 ?1 1 ? ?
所以 ?1 ? ? 2 , ? 2 ? ?3 , ?3 ? ?1 线性相关,故选( A). 【评注】本题也可用赋值法求解,如取 ?1 ? ?1,0,0 ? , ? 2 ? ? 0,1,0 ? , ?3 ? ? 0,0,1? ,以此
T T T

求出(A) , (B ) , ( C) , (D)中的向量并分别组成一个矩阵,然后利用矩阵的秩或 行列式是否为零可立即得到正确选项. 10… .【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系,只要求得 A 的特征值, 并考虑到实对称矩阵 A 必可经正交变换使之相似于对角阵,便可得到答案.

? ?2
【详解】 由

?E ? A ?

1 1

1 ? ?2 1

1 1

? ? (? ? 3) 2 可得 ?1 ? ?2 ? 3, ?3 ? 0 ,

? ?2

所以 A 的特征值为 3,3,0;而 B 的特征值为 1,1,0. 所以 A 与 B 不相似,但是 A 与 B 的秩均为 2,且正惯性指数都为 2,所以 A 与 B 合 同,故选(B) . 【评注】若矩阵 A 与 B 相似,则 A 与 B 具有相同的行列式,相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算 A 与 B 的特征值可立即排除( A) (C) .

0 未定式极限的求解,利用洛必达法则即可. 0 1 ? cos x arctan x ? sin x 1 ? x2 ? lim 【详解】 lim x ?0 x ?0 x3 3x 2
11…【分析】本题为

1 ? cos x(1 ? x 2 ) ? lim x ?0 3x 2
? lim ?2 x cos x ? sin x(1 ? x 2 ) 1 1 1 ?? ? ?? . x ?0 6x 3 6 6

【评注】本题利用了洛必达法则. 本题还可用泰勒级数展开计算 .

1 3 1 x ? o( x3 ), sin x ? x ? x3 ? o( x3 ) , 3 6 arctan x ? sin x 1 ?? . 所以 lim 3 x ?0 x 6
因为 arctan x ? x ? 12… ..【分析】本题考查参数方程的导数及导数的几何意义. 【详解】因为

dy dx

t?

?
4

?

cos t ? sin t ? 2cos t sin t

t?

?
4

??

2 2? 2



所以曲线在对应于 t ?

?
4

的点的切线斜率为 ?

2 2? 2



故曲线在对应于 t ?

?
4

的点的法线斜率为

2? 2 . 2

【评注】本题为基础题型. 13… .【分析】本题求函数的高阶导数,利用递推法或函数的麦克老林展开式. 【详解】 y ?

(?1)n 2n n ! 1 2 (?1) n 2n n ! (n) (n) y (0) ? ,则 ,故 . , y? ? ? y ( x ) ? 2 3n?1 2x ? 3 (2 x ? 3) n ?1 ? 2 x ? 3?

【评注】本题为基础题型. 14… ..【分析】本题求解二阶常系数非齐次微分方程的通解,利用二阶常系数非齐次微分方 程解的结构求解, 即先求出对应齐次方程的通解 Y , 然后求出非齐次微分方程的一 个特解 y * ,则其通解为 y ? Y ? y * . 【详解】对应齐次方程的特征方程为

? 2 ? 4? ? 3 ? 0 ? ?1 ? 1, ?2 ? 3 ,
则对应齐次方程的通解为 y ? C1e ? C2e .
x 3x

设原方程的特解为 y* ? Ae ,代入原方程可得
2x

4 Ae2 x ? 8 Ae2 x ? 3 Ae2 x ? 2e2 x ? A ? ?2 ,
所以原方程的特解为 y* ? ?2e ,
2x

故原方程的通解为 y ? C1e ? C2e
x

3x

? 2e2 x ,其中 C1 , C2 为任意常数.

【评注】本题为基础题型. 15…… 【分析】本题为二元复合函数求偏导,直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得

?z y 1 ? ? 2 f1? ? f 2? , ?x x y
?z 1 ? x ? ? f1 ? 2 f 2 , ?y x y
所以 x

? y ?z ?z x? ? y ? ?2 ? f1? ? f 2? ? . ?x ?y y? ? x

【评注】二元复合函数求偏导时,最好设出中间变量,注意计算的正确性 . 16…… 【分析】先将 A 求出,然后利用定义判断其秩.
3

?0 ? 0 【详解】 A ? ? ?0 ? ?0

1 0 0? ?0 ? ? 0 1 0? 0 3 ? A ?? ?0 0 0 1? ? ? 0 0 0? ?0

0 0 1? ? 0 0 0? ? r ( A) ? 1 . 0 0 0? ? 0 0 0?

【评注】本题考查矩阵的运算和秩,为基础题型. 17…… 【分析】对含变上限积分的函数方程,一般先对 x 求导,再积分即可. 【详解】

cos t ? sin t dt 两边对 x 求导得 sin t ? cos t x(cos x ? sin x) f ?1 ( f ( x)) f ?( x) ? sin x ? cos x x(cos x ? sin x) cos x ? sin x ? xf ?( x) ? ? f ?( x) ? , ( x ? 0) sin x ? cos x sin x ? cos x

?

f ( x)

0

f ?1 (t )dt ? ? t
0

x

两边积分得

? f ( x) ? ln | sin x ? cos x | ?C .
将 x ? 0 代入题中方程可得 因为 f ( x) 是区间 ? 0,

( 1)

?

f (0)

0

f ?1 (t )dt ? ? t
0

0

cos t ? sin t dt ? 0 . sin t ? cos t

? ?? ? ?? ?1 上单调、可导的函数,则 的值域为 , f ( x ) 0, ? ? 4? ? ? 4? ?

单调非负,所以 f (0) ? 0 . 代入( 1)式可得 C ? 0 ,故 f (x) ?ln|sin x cos ? |x . 【评注】利用变限积分的可导性是解函数方程的方法之一 . 18… ..【分析】V(a)的可通过广义积分进行计算,再按一般方法求 V(a) 的最值即可 【详解】 (Ⅰ) V (a) ? ?

?

??

0

xa a dx ? ?

?

x

x ? a? ?? a x d a ln a ?0

x a? x ? a ?? a ln a

?? 0

x x a? ?? ? a a 2? ? a ? a dx ? ? 2 a ln a ?0 ln a

?? 0

a 2? ? 2 . ln a

(Ⅱ)令 V ?(a) ?

? ? 2a ln 2 a ? ? a 2 ? 2ln a ?
ln 4 a

1 a ? 2? a(ln a ? 1) ? 0 ,得 a ? e . ln 3 a

当 a ? e 时, V ?(a) ? 0 , V (a) 单调增加; 当 1 ? a ? e 时, V ?(a) ? 0 , V (a) 单调减少. 所以 V (a) 在 a ? e 取得极大值,即为最大值,且最大值为 V (e) ? ? e .
2

【评注】本题为定积分几何应用的典型问题,需记忆相关公式,如平面图形的面积,绕坐标 轴的旋转体的体积公式等. 19… ...

【分析】本题为不含 y 的可降阶方程,令 y? ? p ,然后求解方程. 【详解】本题不含 y ,则设 y? ? p ,于是 y?? ? p? ,原方程变为

p?( x ? p 2 ) ? p ,


dx x ? ? p ,解之得 x ? p( p ? C ) ,将 p(1) ? 1 代入左式得 C ? 0 , dp p
2

于是 x ? p ? y? ? x ? y ?

2 3 x 2 ? C ,结合 y(1) ? 1 得 C ? 0 , 3



y?

2 3 x2 . 3
dy 需用隐函数求导法确定.. dx
x ?0

【评注】本题为基础题型. 20……….【分析】本题实质上是二元复合函数的求导,注意 【详解】令 u ? ln y ? sin x ,则

dz dx

x ?0

?

?f ? ?u ?u dy ? ?? ? ? ? ?u ? ?x ?y dx ?

.

y ? xe y ?1 ? 1 两边对 x 求导得 y? ? e y ?1 ? xe y ?1 y? ? 0 ? y? ?
可得 y?(0) ? 1 在 y? ?

e y ?1 , 又 y( 0 ) ? 1 , 1 ? xe y ?1

e y ?1 两边对 x 求导得 1 ? xe y ?1
y??
x ?0

?

e y ?1 y? ?1 ? xe y ?1 ? ? e y ?1 ? ? xe y ?1 y? ? e y ?1 ?

?1 ? xe ?
x ?0

y ?1 2

x ?0

? 2.

所以

dz dx

x ?0

?

?f ? ?u ?u dy ? ?? ? ? ? ?u ? ?x ?y dx ?

? 1 dy ? ? f ?(0) ? ? cos x ? ? ? y dx ? ?
x ?0

x ?0

? 1 e y ?1 ? ? f ?(0) ? ? cos x ? ? ? y 1 ? xe y ?1 ? ?
d2 z dx 2 ? ?2 f ?? 2 ? ? ?u
2

?0.

x ?0

2 ? 1 dy ? ?f ? 1 ? dy ? 1 d 2 y ? ? ? ? ? cos x ? ? ? ? ? ? ? sin x ? 2 ? ? ? ? 2 ? ?? y dx ? ?u ? y d x y d x ? ? ? ? ??

x ?0

2 ? 1 ? dy ? 1 d 2 y ? ? f ?(0) ? ? sin x ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? y d x y d x ? ? ? ?

x ?0

? 1.

【评注】也可利用 y? ? e y ?1 ? xe y ?1 y? ? 0 两边对 x 求导得

y?? ? e y ?1 y? ? e y ?1 y? ? xe y ?1 y?2 ? xe y ?1 y?? ? 0
可得 y??(0) . 21…… 【 分 析 】 由 所 证 结 论 f ??(? ) ? g ??(? ) 可 联 想 到 构 造 辅 助 函 数

F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,然后根据题设条件利用罗尔定理证明.
【详 解 】令 F ( x) ? f ( x)? g ( x),则 F ( x) 在 ? a, b ? 上连续,在 (a , b ) 内具有二阶导数且

F ( a) ? F ( b) ? 0.
(1)若 f ( x), g ( x) 在 (a, b) 内同一点 c 取得最大值,则 f (c) ? g (c) ? F (c) ? 0 , 于是由罗尔定理可得,存在 ?1 ? (a, c), ?2 ? (c, b) ,使得

F ?(?1 ) ? F ?(?2 ) ? 0 .
再利用罗尔定理,可得 存在 ? ? (?1 , ? 2 ) ,使得 F ??(? ) ? 0 ,即 f ??(? ) ? g ??(? ) .

(2)若 f ( x), g ( x) 在 (a, b) 内不同点 c1 , c2 取得最大值,则 f (c1 ) ? g (c2 ) ? M ,于是

F (c1 ) ? f (c1 ) ? g (c1 ) ? 0, F (c2 ) ? f (c2 ) ? g (c2 ) ? 0 ,
于是由零值定理可得,存在 c3 ? (c1 , c2 ) ,使得 F (c3 ) ? 0 于是由罗尔定理可得,存在 ?1 ? (a, c3 ), ?2 ? (c3 , b) ,使得

F ?(?1 ) ? F ?(?2 ) ? 0 .
再利用罗尔定理,可得 ,存在 ? ? (?1 , ? 2 ) ,使得 F ??(? ) ? 0 ,即 f ??(? ) ? g ??( ?) . 【评注】对命题为 f
(n)

(? ) ? 0 的证明,一般利用以下两种方法:
( n ?1)

方法一:验证 ? 为 f

( x) 的最值或极值点,利用极值存在的必要条件或费尔马

定理可得证; 方法二:验证 f
( n ?1)

( x) 在包含 x ? ? 于其内的区间上满足罗尔定理条件.

22…..【分析】由于积分区域关于 x, y 轴均对称,所以利用二重积分的对称性结论简化所求 积分. 【详解】因为被积函数关于 x, y 均为偶函数,且积分区域关于 x, y 轴均对称,所以

?? f ( x, y)d? ? ?? f ( x, y)d? ,其中 D 为 D 在第一象限内的部分.
1

D

D1



?? f ( x, y)d? ?
D1

x ? y ?1, x ? 0, y ?0

??

x 2d? ?

1? x ? y ? 2, x ?0, y ?0

??

1 x2 ? y 2

d?

? 1 ? 1 x 2? x 2 2? x 1 1 ? ? dx ? x 2dy ? ? ? dx ? dy ? ? dx ? dy ? 0 0 1 0 ? 0 1? x x 2 ? y 2 x2 ? y 2 ? ? ? 1 ? ? 2 ln 1 ? 2 . 12

?

?

所以

?? f ( x, y)d? ? 3 ? 4
D

1

2 ln 1 ? 2 .

?

?

【评注】被积函数包含

x 2 ? y 2 时, 可考虑用极坐标,解答如下:

1? x ? y ? 2 x ? 0, y ? 0

??

f ( x, y )d? ?

1? x ? y ? 2 x ? 0, y ? 0

??

1 x2 ? y2
2

d?

? ? 2 d? ? sin ?1?cos? dr
0 sin ? ? cos?

?

? 2 ln(1 ? 2) .

23…… 【分析】将方程组和方程合并,然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得 a . 【详解】将方程组和方程合并,后可得线性方程组

? x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? x ? 2 x ? ax ? 0 ? 1 2 3 ? 2 ? x1 ? 4 x2 ? a x3 ? 0 ?x ? 2x ? x ? a ?1 2 3 ? 1
其系数矩阵

?1 ? 1 A?? ?1 ? ?1

1 2

1 a

4 a2 2 1

0 ? ?1 ? ? 0 ? ?0 ? 0 ? ?0 ? ? a ? 1? ? 0

0 ? ? 0 ? . 3 a2 ?1 0 ? ? 1 0 a ? 1? 1 1 1 a ?1

?1 ? 0 ?? ?0 ? ?0

1 1

0 ? ?1 ? ? 0 ? ?0 ? 0 a 2 ? 3a ? 2 0 ? ?0 ? ? 0 1? a a ? 1? ? 0 1 a ?1

1 1

0 ? ? 0 ? . 0 1? a a ? 1? ? 0 (a ? 1)(a ? 2) 0 ? 1 a ?1

显然,当 a ? 1, a ? 2 时无公共解. 当 a ? 1 时,可求得公共解为 当 a ? 2 时,可求得公共解为

? ? k ?1 , 0? , ? 1, k 为任意常数;
T

? ? ? 0 , 1? , ? 1.
T

【评注】本题为基础题型,考查非齐次线性方程组解的判定和结构. (24) (本题满分 11 分) 设三阶对称矩阵 A 的特征向量值 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? ?2 , ?1 ? (1, ?1,1) 是 A 的属于
T

?1 的一个特征向量,记 B ? A5 ? 4 A3 ? E ,其中 E 为 3 阶单位矩阵.
(I)验证 ?1 是矩阵 B 的特征向量,并求 B 的全部特征值与特征向量; (II)求矩阵 B . 【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质. 【详解】 (I) B?1 ? A ? 4 A ? E
5 3

?

??

1

? ?15?1 ? 4?13?1 ? ?1 ? ? ?15 ? 4?13 ? 1??1 ? ?2?1 ,

则 ?1 是矩阵 B 的属于- 2 的特征向量. 同理可得
5 3 B? 2 ? ? ?2 ? 4?2 ? 1? ? 2 ? ? 2 , B?3 ? ? ?35 ? 4?33 ? 1? ?3 ? ?3 .

所以 B 的全部特征值为 2, 1, 1 设 B 的属于 1 的特征向量为 ? 2 ? ( x1 , x2 , x3 ) ,显然 B 为对称矩阵,所以根据不
T

同特征值所对应的特征向量正交,可得

?1T? 2 ? 0 .


x1 ? x2 ? x3 ? 0 ,解方程组可得 B 的属于 1 的特征向量

? 2 ? k1 (1,0, ?1)T ? k2 (0,1,0)T ,其中 k1 , k2 为不全为零的任意常数.
由前可知 B 的属于-2 的特征向量为 k3 (1, ?1,1) ,其中 k3 不为零.
T

?1 0 1? ?1 0 0 ? ? ? ? ? -1 (II)令 P ? 0 1 ?1 ,由(Ⅰ)可得 P BP ? 0 1 0 ,则 ? ? ? ? ? ?1 0 1 ? ? 0 0 ?2 ? ? ? ? ?

? 0 1 ?1? ? ? B ?? 1 0 1 ?. ? ?1 1 0 ? ? ?
【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量,此类问题一般用定义求解,要 想方设法将题设条件转化为 Ax ? ? x 的形式. 请记住以下结论: (1)设 ? 是方阵 A 的特征值,则 kA, aA ? bE, A , f ( A), A , A 分别有特征值
2 ?1 *

1 A k ? , a? ? b, ? 2 , f (? ), , ( A 可逆) ,且对应的特征向量是相同的.

? ?

(2)对实对称矩阵来讲,不同特征值所对应的特征向量一定是正交的




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