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关于专升本高等数学测试题答案

专升本高等数学测试题

1.函数 y ? 1? sin x 是( D ). (A) 奇函数; (B) 偶函数; (C) 单调增加函数; (D) 有界函数.
解析 因为 ?1 ? sin x ? 1,即 0 ? 1? sin x ? 2 , 所以函数 y ? 1? sin x 为有界函数.

2.若 f (u) 可导,且 y ? f (e x ) ,则有( B );

(A) dy ? f '(e x )dx ;

(B) dy ? f '(e x )e xdx ;

(C) dy ? f (e x )e xdx ;

(D) dy ? [ f (e x )]' e xdx .

解析 y ? f (e x ) 可以看作由 y ? f (u) 和 u ? ex 复合而成的复合函数

由复合函数求导法

? ? y? ? f ?(u) ex ? ? f ?(u) ? ex ,

所以

dy ? y? ? dx ? f '(e x )e xdx .

? 3. ?? e?xdx =( B ); 0 (A)不收敛;

(B)1;

(C)-1;

? 解析 ?? e?xdx ? ?e?x ?? ? 0 ?1 ? 1.

0

0

(D)0.

4. y?? ? 2 y? ? y ? (x ?1)ex 的特解形式可设为( A );

(A) x2 (ax ? b)ex ;

(B) x(ax ? b)ex ;

(C) (ax ? b)ex ;

(D) (ax ? b)x 2 .

解析 特征方程为 r2 ? 2r ? 1 ? 0 ,特征根为 r1 = r2 =1.? =1 是特征方程的特征重根,于 是有 yp ? x2(ax ? b)ex .

?? 5. x2 ? y 2 dxdy ? ( C ),其中 D :1≤ x2 ? y 2 ≤ 4 ;

D

? ? (A)


d?

4r2 dr;

0

1

? ? (B)


d?

4rdr;

0

1

? ? (C)


d?

2r2 dr;

0

1

? ? (D)


d?

2rdr.

0

1

解析 此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式.



?x

? ?

y

? ?

r cos? r sin?

时,dxdy

?

rdrd?

,由于1≤

x2

?

y2



4

,D

表示为

1 ? r ? 2 ,0 ? ? ? 2π ,

?? ? ? ?? 故

x2 ? y 2 dxdy ?

r ? rdrd? ?


d?

2 r2dr .

0

1

D

D

6.函数 y = 1 ? arcsin( x ?1) 的定义域

3? x2

2

解由所给函数知,要使函数有定义,必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负;反正弦函 数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组,并求出联立不等式组的解.即

?

? 3?x ? 0,

? ?

3?

x2

?

0

,

? ? ?

x ?1 ?1, 2

推得

?? ?

3?x?

3,

? 0?x?4,

即 0 ? x ? 3 , 因此,所给函数的定义域为 [0 , 3) .

7. 求极限 lim 2 ? x ? 2 = x?2 2 ? x

解:原式= lim (2 ? x ? 2)(2 ? x ? 2) x?2 (2 ? x)(2 ? x ? 2)

= lim 1 x?2 2 ? x ? 2

= 1 . (恒等变换之后“能代就代”) 4
x
8.求极限 lim ?1 sinπ t dt = x?1 1 ? cosπ x

解:此极限是“ 0 ”型未定型,由洛必达法则,得 0

x

x

? ? sinπ t dt ( sinπ t dt)?

lim 1

= lim 1

= lim

sinπ x

? lim ( 1 ) ? ? 1

x?1 1 ? cosπ x x?1 (1 ? cosπ x)? x?1 ?π sinπ x x?1 ?π

π

9.曲线

? ? ?

x y

? t, ? t3,

在点(1,1)处切线的斜率

解:由题意知:

?1 ? t, ??1 ? t 3 ,

?

t

?1,

?

dy dx

t ?1

? (t 3 )? (t )?

t ?1

? 3t 2

t ?1

? 3,

?曲线在点(1,1)处切线的斜率为 3

10. 方程 y''?2y'? y ? 0 , 的通解为

解: 特征方程 r 2 ? 2r ?1 ? 0 , 特征根 r1 ? r2 ? 1,

通解为 y ? (C1 ? C2 x)e x .

??
11. 交错级数 (?1)n?1

1

的敛散性为

n ?1

n(n ? 1)

? ? ?
(4) ? (?1)n?1

1

?
=

1,

n?1

n(n ?1) n?1 n(n ? 1)

??
而级数

1 收敛,故原级数绝对收敛.

n?1 n(n ? 1)

12. lim (1 ? x??

1 x2

)

x

.

(第二个重要极限)

解一 原式= lim (1 ? 1) x (1 ? 1) x ? lim (1 ? 1) x ? lim[(1 ? 1)?x ]?1 = ee?1 ? 1,

x??

x

x

x?0

x x??

x

解二

原式= lim[(1 ?

1

1

)

(

?

x

2

)

(?
]

x

)

=

e

0

? 1.

x??

x2

13. lim[1 ? 1 ln(1? x)] x?0 x x 2

解 所求极限为 ? ? ? 型 ,不能直接用洛必达法则,通分后可变成 0 或 ? 型. 0?

lim[ 1 x?0 x

?

1 x2

ln(1 ?

x)]

?

lim
x?0

x

?

ln(1 ? x2

x)

?

lim
x?0

1? 1 1? 2x

x

? lim 1 ? x ?1 ? lim 1 ? 1 . x?0 2x(1 ? x) x?0 2(1 ? x) 2

14.设 f (x) ? xex ,求 f '(x) .

解:令 y ? xex , 两边取对数得: ln y ? e x ln x ,

两边关于 x 求导数得:



y' ? xex (e x ln x ? e x ) .

x

15.求 f (x) ? x3 + 3x 2 在闭区间 ?? 5,5?上的极大值与极小值,最大值与最小值.

解: f ?(x) ? 3x2 ? 6x , 令 f ?(x) ? 0 , 得 x1 ? 0, x2 ? ?2, f ??(x) ? 6x ? 6 , f ??(0) ? 6 ? 0 , f ??(?2) ? ?6 ? 0 ,

∴ f (x) 的极大值为 f (?2) ? 4,极小值为 f (0) ? 0 .

∵ f (?5) ? ?50 ,

f (5) ? 200 .

∴ 比较 f (?5), f (?2), f (0), f (5) 的大小可知:

f (x) 最大值为 200, 最小值为 ? 50 .

16.求不定积分 ? 1 ?

1 dx . 1? x

解: 令 1 ? x ? t , 则 x ? t 2 ?1 , dx ? 2tdt ,于是

原式=

?

2t 1?

t

dt = 2?

t

?1?1 dt 1? t

= 2[? dt

?

?

dt 1?t

]

=

2t

? 2ln 1? t

?C

= 2 1? x ? 2ln 1? 1? x ? C .

? 17.求定积分 41? x dx . 01? x 解:(1)利用换元积分法,注意在换元时必须同时换限.

令 t ? x , x ? t 2 , dx ? 2tdt , 当 x ? 0时, t ? 0 ,当 x ? 4 时, t ? 2 ,于是

? ? ? 41?

x dx =

21 ? t 2tdt =

2
[4 ? 2t ?

4 ]dt

01? x

01? t

0

1? t

18. 求方程 (ex? y ? ex )dx ? (ex? y ? ey )dy ? 0 的通解;

解 整理得

ex (ey ?1)dx ? ?ey (ex ?1)dy ,

用分离变量法,得 两边求不定积分,得 于是所求方程的通解为

e

e
y

y
?1

dy

?

?

e

ex x?

1

dx



ln(ey ?1) ? ? ln(ex ?1) ? ln C ,

ey

?1

?

C ex ?1





ey ? C ?1.

ex ?1

19. u ? e x sin xy , 求 ?u , ?u .

?x (0,1)

?y (1,0)

解:因 ?u ? ex sin xy ? ex cosxy ? y ? ex (sin xy ? y cosxy) , ?x

?u ? e x cos xy ? x , ?y

? ?u ? e0 (sin 0 ? cos0) ? 1, ?x (0,1)

?u ? e(cos0 ?1) ? e . ?y
(1,0)

? ? ? ? 20.画出二次积分

2 0

dy

2? f 4?y2 x, y dx 的积分区域 D 并交换积分次序.
2? 4? y2

解:

D



??0 ?

?

??2 ?

y ? 2, 4 ? y2

?

x

?

2

?

4 ? y2

y

的图形如右图,由图可知,

D

也可表为

??0 ? ??0

? ?

x y

? ?

4, 4x

?

x2

,

O 24 x

? ? 所以交换积分次序后,得

4 0

dx

? ? f 4x?x2
0

x, y dy .

21.求平行于 y 轴,且过点 A(1,?5,1) 与 B (3, 2 , ? 3) 的平面方程.

解一 利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量 n .因为平面平行于 y 轴,所以

n ? j .又因为平面过点 A 与 B ,所以必有 n ? AB .于是,取 n = j ? AB ,
ij k 而 AB ={2,7,?4} ,所以 n = 0 1 0 = ? 4i ? 2k ,
2 7 ?4
因此,由平面的点法式方程,得 ? 4(x ?1) ? 0( y ? 5) ? 2(z ?1) ? 0 ,即 2x ? z ? 3 ? 0.

解二 利用平面的一般式方程。设所求的平面方程为 Ax ? By ? Cz ? D ? 0,

由于平面平行于 y 轴,所以 B ? 0,原方程变为 Ax ? Cz ? D ? 0 ,又所求平面过点 A (1,

?5,

1)与

B

(3

,

2,

?3),将

A,

B

的坐标代入上述方程,得

?A ??3A

? ?

C?D?0, 3C ? D ? 0

,

解之得

A ? 2C ,

D ? ?3C ,代入所设方程,故所求平面方程为 2x ? z ? 3 ? 0.




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