绝密★启用前
高二上学期第二次月考数学（理）试题
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项： 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
第 I 卷（选择题，共 50 分）
评卷人 得分
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）
1．命题 P ：“ ?a ? R ， a2 ? 0 ”,则“非 P ”为 （ ）
A. ?a ? R ， a2 ? 0
B. ?a ? R ， a2 ? 0
C. ?a ? R ， a2 ? 0
D. ?a ? R ， a2 ? 0
2．如果命题“ p ? q ”为假命题，则
A． p, q 均为假命题
B． p, q 中至少有一个真命题
C． p, q 均为真命题
D． p, q 中只有一个真命题
3．“ x ? 0 ”是“ 3 x2 ? 0 ”成立的( )
A. 必要不充分条件 C. 充要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
4．设 F1 和 F2
为双曲线 x 2 4
? y 2 ? 1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足 ?F1PF2 ? 90? ，
则 ?F1PF2 的面积是（
）。
A.1
5
B.
C.2
D. 5
2
5．已知椭圆 x2 ＋ y2 ＝1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0)，过点 F 的直线交椭圆于 A、B 两点。 a2 b2
若 AB 的中点坐标为(1，－1)，则 E 的方程为 (
)
A、 x2 ＋ y2 ＝1 45 36
B、 x2 ＋ y2 ＝1 36 27
C、 x2 ＋ y2 ＝1 27 18
D、 x2 ＋ y2 ＝1 18 9
6．抛物线 y ? x 2 上的任意一点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的最短距离为（ ）
A. 2
B. 7 2 8
C. 2 2
D. 以上答案都不对
7．等差数列{an}中，a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为（
）
A、1 B、2 C、3 D、4
? 8．已知?an 为等比数列， a4 ? a7 ? 2 ， a5a6 ? ?8 ，则 a1 ? a10 ? （
）
A.7
B.5
C.-5
D.-7
9．已知双曲线 C: x2 － y2 ＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 5 ，则 C 的渐近线方程为 (
a2 b2
2
)
A、y=± 1 x
（B）y=± 1 x
（C）y=± 1 x
（D）y=±x
4
3
2
10．已知平面区域如右图所示， z ? mx ? y(m ? 0) 在平面区域内取得最大值的最优解有无数
多个，则 m 的值为（ ）
A． 7 20
B． ? 7 20
C． 1 2
D．不存在
第 II 卷（非选择题）（共 70 分）
评卷人 得分
二、填空题（本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分）
11．原命题：“设 a, b, c ? R, 若a ? b,则ac2 ? bc2 ”以及它的逆命题，否命题，逆否命题中，
真命题的个数是______________________．
12．已知椭圆 x 2 ? ky 2 ? 3k(k ? 0)的一个焦点与抛物线y 2 ? 12x 的焦点重合，则该椭圆
的离心率是
．
题 序
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 13 ． 双 曲 线
答
x2 ? y2 ? 1的离心率
案
16 m
为 5 , 则 m 等于
.
4
14．椭圆中心在原点，且经过定点 (2,?3) ，其一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合，则该
椭圆的方程为
一、选择题答题卡
二、填空题
11.
12.
13.
14．
三、解答题（共 50 分）（解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤）
15.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是 轴，抛物线上的点
于 5，求抛物线的方程和 的值．(8 分)
到焦点的距离等
16．设命题 p : 2x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ；命题 q : x2 ? ?2a ?1? x ? a ?a ?1? ? 0 ，若 ?p 是 ?q 的必要不
充分条件，求实数 a 的取值范围．
17．（本小题满分 10 分）
已知双曲线过点 A(?3
2,
4)
，它的渐进线方程为
y
?
?
4 3
x
（1）求双曲线的标准方程。
（2）设 F1 和 F2 分别是双曲线的左、右焦点，点 P 在双曲线上，且 PF1 ? PF2 ? 32
求 ?F1PF2 的大小。
18．（本小题满分 10 分）已知等比数列?an? 中， Sn 为前 n 项和且 a1 ? a3 ? 5 ， S4 ? 15 ，
（Ⅰ）求数列?an? 的通项公式。
（Ⅱ）设 bn
?
5 2
log2
an
，求 bn
的前 n
项和 Tn
的值。
19 ． 已 知 椭 圆
x2 a2
?
y2 b2
? 1(a ? b ? 0) 的 左 右 焦 点 分 别 为 F1
, F2
，左顶点为
A ，若
|
F1 F2
|?
2 ，椭圆的离心率为 e
?
1 2
（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若 P 是椭圆上的任意一点，求 PF1 ? PA 的取值范围.( 12 分)
参考答案
三．15.据题意可知，抛物线方程应设为
（
），则焦点是
点
在抛物线上，且
，故
，
解得
或
抛物线方程
，
16．[0? 1]． 2
∴
?? ?
a
?
1 2
?
??a ?1 ? 1?
故所求实数
a
的取值范围是[0?
1 2
]
．
10 分
【解法二】 ?P : 2x 2 ? 3x ? 1 ? 0 ， ?q : x 2 ? (2a ? 1)x ? a(a ? 1) ? 0
? ? ? ? 记 A ? x | 2x2 ? 3x ? 1 ? 0 ， B ? x | x2 ? (2a ? 1)x ? a(a ? 1) ? 0
2分 4分
化简得
A
?
??x ?
|
x
?
1 2
或x
?
1?? ?
，
B
?
?x
|
x
?
a或x
?
a
? 1?
6分
由已知 ?p 是 ?q 的必要不充分条件，从而 p 是 q 的充分不必要条件，即 A ? B ， 8 分
?
??a ?
?
1 2
??a ? 1 ? 1
?0 ? a ? 1 ． 2
10 分
19.
【解析】（I）由题意得 c ? 1, a ? 2, b ? 3
x2 y2 ? ?1
43
………………4 分
(II)设 P(x0 , y0 )
A(?2，0), F1 (?1,0)
PF1
? PA
?
(?1 ?
x0 )(?2 ?
x0 ) ?
y02
?
1 4
x2
? 3x
?5
由椭圆方程得 ? 2 ? x ? 2 ,二次函数开口向上，对称轴 x=－6<-2
当 x=-2 时，取最小值 0，
当 x= 2 时, 取最大值 12
PF1 ? PA 的取值范围是[0,12]
………………………………12 分