当前位置: 首页 > >

2013年中国科学院大学高等代数考研真题考研试题硕士研究生入学考试试题

中国科学院大学 2013 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称:高等代数 考生须知: 1.本试卷满分为 150 分,全部考试时间总计 180 分钟。 2.所有答案必须写在答题纸上,写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1.(15 分) 求下面 n + 1 阶行列式的值 s0 s1 s1 s2 D = s2 s3 ? ? sn sn +1 k k 其中, sk = x1k + x2 。 + ? + xn s2 s3 s4 ? sn + 2 ? sn ?1 1 x ? sn ? sn +1 x 2 ? ? ? ? s2 n ?1 x n 2.(15 分) 假设矩阵 A 与 B 没有公共的特征根, f ( x) 是矩阵 A 的特征多项 式,证明以下结论: 1) 矩阵 f ( B ) 可逆; 2) 矩阵方程 AX = XB 只有零解。 3. (15 分)设 A = ( ai , j ) 1≤i , j ≤ n 是斜对称方阵, 即 ai , j a= = 1, 2, ?, n ) , n ? j +1 , n ?i +1 ( i , j 证明:若 A 可逆,则其逆阵也是斜对称方阵。 4.(20 分) 设二次曲面 x 2 + ay 2 + z 2 + 2bxy + 2 xz + 2 yz = 4 可以经由正交变换 ? x? ?ξ ? ? ? ? ? ? y ? = P ?η ? ?z? ?ζ ? ? ? ? ? 化成椭圆柱面方程 η 2 + 4ζ 2 = 4 ,试求 a, b 和正交矩阵 P 。 科目名称:高等代数 第1页 共2页 5.(15 分) 假设 3 阶实方阵 A 满足: A2 = E , E 是单位方阵, A ≠ ± E 。证 明 (Tr ( A) ) = 1 ,其中 Tr ( A) 表示矩阵 A 的迹。 2 6.(15 分) 设 A 为 n 阶半正定实矩阵。证明:|A+2013E|≥2013n,等号成 立当且仅当 A=0。其中, E 是单位矩阵。 7. (15 分) 证明:任何一个实方阵均可表示成两个对称矩阵的乘积,其中 至少有一个矩阵可逆。 8.(15 分) 设 A 是一个 3 × 3 正交矩阵,证明 A 可以写成 CR ,其中 C 对应 于 R 3 中的旋转变换,R 对应于 R 3 的恒等变换或对应于 R 3 中的镜面反射变换,其 中 R 表示实数域。 9.(10 分)设 V 是数域 F 上的有限维向量空间, φ 是 V 上的线性变换。证明 V 能够分解成两个子空间的之和 其中,U , W 满足: 对任意 u ∈ U , V = U ⊕W , 存在正整数 k 使得 φ k (u ) = 0 ;对任意 w ∈ W ,存在 vm ∈ V ,使得 w = φ m (vm ) 对所 有的正整数 m 。 10.(15 分)设 V 是实数域 R 上的 n 维线性空间,φ 是 V 上的线性变换,满足 。 φ 2 = ?ε ( ε 是 V 上的恒等变换) 1) 证明 n 是偶数; 2) 若ψ 是 V 上的线性变换,满足 ψφ = φψ ,证明 det(ψ ) ≥ 0 。 科目名称:高等代数 第2页 共2页


相关推荐


友情链接: 高中资料网 职业教育网 成人教育网 理学 大学工学资料