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江苏省徐州市、宿迁市2013—2014学年度高三第一次模拟考试数学试题(无答案)

宿迁市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题
数学Ⅰ
(本部分满分 160 分,时间 120 分钟)

注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及答题要求 1.本试卷共 4 页,均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题) 。本卷满分为 160 分, 考试时间为 120 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2.答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置。 3.作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它 位置作答一律无效。 4.如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等加黑、加粗。
1 参考公式:锥体的体积公式: V ? Sh ,其中 S 是锥体的底面面积, h 是高. 3 一、填空题:本题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案填写在答题卡上 . ....

1.设复数 z1 ? 2 ? i , z2 ? m ? i (m ? R ,i 为虚数单位 ) ,若 z1 ? z2 为实数,则 m 的值为 ▲ . 2.已知集合 A ? {2 ? a , a} , B ? {?1,1, 3} ,且 A ? B ,则实数 a 的值是 ▲ . 3.某林场有树苗 3000 棵,其中松树苗 400 棵.为调查树苗的生长情况,采用分层抽样的 方法抽取一个容量为 150 的样本,则样本中松树苗的棵数为 ▲ . 4 .在 △ABC 的边 AB 上随机取一点 P , 记 △CAP 和 △CBP 的面积分别为 S1 和 S 2 ,则
S1 ? 2S2 的概率是
2 2





x y 5.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 的一条渐近线方程为 2 x ? y ? 0 , a b 则该双曲线的离心率为 ▲ . 6.右图是一个算法流程图,则输出 S 的值是 ▲ . 7.函数 f ( x) ? lg(2x ? 3x ) 的定义域为 ▲ .

开始

S ? 0, n ? 1
n ?n?2 S ?S ?n

8.若正三棱锥的底面边长为 2 ,侧棱长为 1,则此三棱锥 的体积为 ▲ . 9.在 △ABC 中,已知 AB ? 3 , A ? 120o ,且 △ABC 的面积 15 3 为 ,则 BC 边长为 ▲ . 4 10.已知函数 f ( x) ? x x ? 2 ,则不等式 f ( 2 ? x) ≤ f (1) 的 解集为 ▲ .

n ? 10
N 输出 S
结束 (第 6 题图)

Y

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? 11 .已知函数 f ( x) ? 2sin(2? x ? ) (? ? 0) 的最大值与最小正周期相同,则函数 f ( x) 在 4 ▲ . [? 1 ,1上的单调增区间为 ]

12.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,若 a4 , a3 , a5 成等差数列,且 Sk ? 33 , Sk ?1 ? ?63 , 其中 k ? N? ,则 Sk ? 2 的值为 ▲ . 13.在平面四边形 ABCD 中,已知 AB ? 3 , DC ? 2 ,点 E , F 分别在边 AD , BC 上,且 ??? ? ???? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ▲ . AD ? 3 AE , BC ? 3BF .若向量 AB 与 DC 的夹角为 60? ,则 AB ? EF 的值为 14.在平面直角坐标系 xOy 中,若动点 P(a , b) 到两直线 l1 : y ? x 和 l2 : y ? ? x ? 2 的距离 之和为 2 2 ,则 a2 ? b2 的最大值为 ▲ . 二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 14 分) 已知向量 a ? (cos? , sin ? ) , b ? (2 , ? 1) . sin ? ? cos? (1)若 a ? b ,求 的值; sin ? ? cos ? ? ? (2)若 a ? b ? 2 , ? ? (0 , ) ,求 sin(? ? ) 的值. 2 4

16.(本小题满分 14 分) 如图,在三棱锥 P ? ABC 中,点 E , F 分别是棱 PC , AC 的中点. (1)求证: PA //平面 BEF ; (2)若平面 PAB ? 平面 ABC , PB ? BC ,求证: BC ? PA . P

A E F C
(第 16 题图)

B

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17.(本小题满分 14 分) 某单位拟建一个扇环面形状的花坛(如图所示),该扇环面是由以点 O 为圆心的两个同 心圆弧和延长后通过点 O 的两条直线段围成.按设计要求扇环面的周长为 30 米,其 中大圆弧所在圆的半径为 10 米.设小圆弧所在圆的半径为 x 米,圆心角为 ? (弧度) . (1)求 ? 关于 x 的函数关系式; (2)已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时,直线部分的装饰费用为 4 元/米,弧线 部分的装饰费用为 9 元/米.设花坛的面积与装饰总费用的比为 y ,求 y 关于 x 的 函数关系式,并求出 x 为何值时, y 取得最大值?

?
O (第 17 题图)

18.(本小题满分 16 分) 已知 △ABC 的三个顶点 A(?1 , 0) , B(1, 0) , C(3 , 2) ,其外接圆为 ⊙H . (1)若直线 l 过点 C ,且被 ⊙H 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程; (2) 对于线段 BH 上的任意一点 P , 若在以 C 为圆心的圆上都存在不同的两点 M ,N , 使得点 M 是线段 PN 的中点,求 ⊙C 的半径 r 的取值范围.

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19.(本小题满分 16 分)
5 已知函数 f ( x) ? x3 ? x2 ? ax ? b ( a , b 为常数) ,其图象是曲线 C . 2 (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调减区间; (2) 设函数 f ( x) 的导函数为 f ?( x) , 若存在唯一的实数 x0 , 使得 f ( x0 ) ? x0 与 f ?( x0 ) ? 0 同 时成立,求实数 b 的取值范围; (3)已知点 A 为曲线 C 上的动点,在点 A 处作曲线 C 的切线 l1 与曲线 C 交于另一点 B ,

在点 B 处作曲线 C 的切线 l2 ,设切线 l1 , l2 的斜率分别为 k1 , k 2 .问:是否存在 常数 ? ,使得 k2 ? ? k1 ?若存在,求出 ? 的值;若不存在,请说明理由.

20. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 满足 a1 ? x ,a2 ? 3x ,Sn ?1 ? Sn ? Sn ?1 ? 3n2 ? 2 (n ≥ 2 , n ? N* ) ,S n 是数列 {an } 的 前 n 项和. (1)若数列 {an } 为等差数列. (ⅰ)求数列的通项 an ; (ⅱ)若数列 {bn } 满足 bn ? 2an ,数列 {cn } 满足 cn ? t 2bn? 2 ? tbn?1 ? bn ,试比较数列 {bn } 前 n 项和 Bn 与 {cn } 前 n 项和 Cn 的大小; (2)若对任意 n ? N* , an ? an ?1 恒成立,求实数 x 的取值范围.

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宿迁市 2013—2014 学年度高三年级第一次模拟考试

数 学 试 题
数学Ⅱ(附加题) 注意事项
1. 本试卷共 2 页,均为非选择题(第 21 题~第 23 题,共 4 题) 。本卷满分为 40 分,考 试时间为 30 分钟。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。 2. 作答试题,必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其它位 置作答一律无效。 21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两题 ,并在相应的答题区域内 ....... .......... 作答 .若多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.(选修 4—1:几何证明选讲)(本小题满分 10 分) 如图, 锐角 ?ABC 的内心为 D , 过点 A 作直线 BD 的垂线, 垂足为 F , 点 E 为内切圆 D ? 与边 AC 的切点.若 ?C ? 50 ,求 ?DEF 的度数. A

E D F

B C B.(选修 4—2:矩阵与变换)(本小题满分 10 分) (第 21(A)图) ?a 0? 设矩阵 M ? ? ,若曲线 C : x 2 + y 2 = 1 在矩阵 M 所对应的变 b>0 ) ? (其中 a > 0 , 0 b ? ?
x2 换作用下得到曲线 C ? : ? y 2 ? 1 ,求 a +b 的值. 4

C.(选修 4—4:坐标系与参数方程)(本小题满分 10 分) ? ?x ? ? 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知直线 l 的参数方程是 ? ? y? ? ?

2 t, 2 ( t 为参数) ; 以O 2 t?4 2 2 ? 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos(? ? ) .由直 4 线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值.

D.(选修 4—5:不等式证明选讲)(本小题满分 10 分) 1 1 1 已知 a , b , c 均为正数,证明: a 2 ? b2 ? c2 ? ( ? ? )2 ≥ 6 3 . a b c
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【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域 内作答,解 ....... 答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.某品牌汽车 4 S 店经销 A , B , C 三种排量的汽车,其中 A , B , C 三种排量的汽 车依次有 5,4,3 款不同车型.某单位计划购买 3 辆不同车型的汽车,且购买每款车 型等可能. (1)求该单位购买的 3 辆汽车均为 B 种排量汽车的概率; (2)记该单位购买的 3 辆汽车的排量种数为 X ,求 X 的分布列及数学期望.

??? ? ??? ? ??? ? 23.已知点 A(?1 , 0) , F (1, 0) ,动点 P 满足 AP ? AF ? 2 | FP | . (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)在直线 l : y ? 2 x ? 2 上取一点 Q ,过点 Q 作轨迹 C 的两条切线,切点分别为 M , N .问:是否存在点 Q ,使得直线 MN // l ?若存在,求出点 Q 的坐标;若不存 在,请说明理由.

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