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2016学年高二数学同步导学课件第2章《数列》2.2第1课时(人教B版必修5)_图文

数学
人教B版 ·必修5

路漫漫其修远兮 吾将上下而求索

第二章 数 列

第二章
2.2
第1课时

等差数列

等差数列的概念及通项公式

1

课前自主预习

3

易错疑难辨析

2

课堂典例讲练

4

课 时 作 业

课前自主预习

汉朝的天文著作《周髀算经》中有记载,大意如下:在平 地上立八尺高的髀,日中测影,在二十四节气中:冬至影长1 1 丈3尺5寸,以后每一节气影长递减9寸9 6 分;夏至影最短,仅 1 长1尺6寸,以后每一节气影长递增9寸9 6 分.如果把这些影长 记录下来,会构成一个什么样的数列呢?

? 1.等差数列的定义 第2项 ? 一般地,如果一个数列从 ________起,每一 同一个常数 项与它的前一项的差等于 ____________,那 公差 么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做 常数列 等差数列的________ ,公差通常用字母d表 示.若公差d=0,则这个数列为________.

? 2.等差数列的递推公式与通项公式 ? 已知等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则 有: 递推公式 通项公式
an-an-1=d(n≥2) a1+(n-1)d an=____________

? 3.等差中项
等差中项

? 如果三个数a,A,b成等差数列,那么A叫做

a+b 2

1.下列数列是等差数列的是( 1 1 1 1 A.3,5,7,9 C.1,-1,1,-1

)

B.1, 3, 5, 7 D.0,0,0,0

? [答案] D
1 1 1 1 [解析] ∵ 5 - 3 ≠ 7 - 5 ,故排除A;∵ 3 -1≠ 5 - 3 , 故排除B; ∵-1-1≠1-(-1),故排除C,∴选D.

? 2.等差数列1,-1,-3,-5,…,-89, 它的项数为( ) ? A.92 B.47 ? C.46 D.45 ? [答案] C ? [解析] a1=1,d=-1-1=-2,∴an=1+ (n-1)·(-2)=-2n+3, ? 由-89=-2n+3,得n=46.

? 3.(2016·威海检测)已知m和2n的等差中项是 4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项 是( ) ? A.2 B.3 ? C.6 D.9 [解析 2m+n=10,2n+m=8,两式相加得3m+ ? [答案 ]] 由题意 B
m+n 3n=18,∴m+n=6,∴ 2 =3.

? 4.已知a,b,c成等差数列,那么二次函数y =ax2+2bx+c的图象与x轴的交点有________ 个. ? [答案] 1或2 ? [解析] ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c, ? 又Δ=4b2-4ac=(a+c)2-4ac=(a-c)2≥0.

? 5.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a= ________.
[答案] 7 2

[解析] 设公差为d,则9=2+4d, 7 ∴d=4. 7 ∴c-a=2d=2.

? 6.已知a,b,c成等差数列,证明:a2(b+c), b2(a+c),c2(a+b)成等差数列. ? [解析] ∵a,b,c成等差数列,∴2b=a+c. ? ∵a2(b+c)+c2(a+b)-2b2(a+c)=a2b+a2c+ ac2+bc2-2ab2-2b2c=a2c+ac2+ab(a-2b) +bc(c-2b)=ac(a+c)-2abc=2abc-2abc= 0, ? ∴a2(b+c),b2(a+c),c2(a+b)成等差数列.

课堂典例讲练

等差数列的定义及判定

?

已知数列的通项公式为an=6n-1, 问这个数列是等差数列吗?若是等差数列, 其首项与公差分别是多少? ? [解析] ∵an+1-an=[6(n+1)-1]-(6n-1) =6(常数), ? ∴{an}是等差数列,其首项a1=6×1-1=5, 公差为6. ? [点评] 判断一个数列{an}是否为等差数列, 只要依据定义验证an+1-an=d(d为常数)是否 成立.

1 1 1 若 , , 成等差数列,求证:a2,b2,c2成等 b+c a+c a+b 差数列.
1 1 2 [解析] 由已知得 + = , b+c a+b a+c 2b+a+c 2 即 = . ?b+c??a+b? c+a 即(2b+a+c)(c+a)=2(b+c)(a+b). ∴a2+c2=2b2, ∴a2,b2,c2成等差数列.

等差数列的通项公式

? 在等差数列{an}中: ? (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d; ? (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9. ? [分析] 根据等差数列的通项公式an=a1+(n -1)d,由条件可建立关于a1、d的二元一次 方程组解出a1、d.

[解析]

? ?a1+?5-1?d=-1 (1)由题意知? ? ?a1+?8-1?d=2



? ?a1=-5 解得? ? ?d=1

.

(2)由题意知
? ?a1+a1+?6-1?d=12 ? ? ?a1+?4-1?d=7 ? ?a1=1 解得? ? ?d=2



.

∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17.

? {an}是首项为a1=1,公差d=3的等差数列, 如果an=22,则n等于( ) ? A.6 B.7 C.8 D.9 ? [答案] C ? [解析] 由题意,得an=a1+(n-1)d=1+3(n -1)=3n-2, ? 又∵an=22, ? ∴3n-2=22, ? ∴n=8.

等差数列的实际应用

?

甲公司2014年经销一种数码产品, 获利200万元,从2015年起,预计其利润每年 比上一年减少20万元,按照这一规律,如果 公司不开发新产品,也不调整经营策略,从 哪一年起,该公司经销这一产品将亏损? ? [分析] 由题意知每年获利构成等差数列{an}, 不难知道a1=200,an-an-1=-20,n≥2, n∈N+,然后可以求出通项公式an.由题意知 数列为递减数列,令an<0,解不等式即可获 得答案.

? [解析] 记2014年为第一年,由题设可知第1 年获利200万元,第2年获利180万元,第3年 获利160万元,…,每年获利构成等差数列 {an},且当an<0时,该公司会出现亏损. ? 设从第1年起,第n年的利润为an,且a1=200, 公差d=-20. ? 所以an=a1+(n-1)d=220-20n.由题意知数 列为递减数列,故令an<0,即an=220- 20n<0,得n>11,即从第12年起,也就是从 2025年开始,该公司经销此产品将亏损.

? 某地区2009年底沙漠面积为9×105 km2.地质 工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况, 从2010年开始进行了连续5年的观测,并在每 年底将观测结果记录如下表: 2
观测年份 2010 该地区沙漠面积比原有面积增加数/km 2 000

2011 2012 2013 2014

4 000 6 001 7 999 10 001

? 请根据上表所给的信息进行预测.如果不采 取任何措施,到2022年底,这个地区的沙漠 面积将大约变成多少? ? [解析] 从表中的数据看,该地区每年沙漠面 积比原有面积的增加数是一个等差数列,公 差约为d=2 000,a2 022=a2 014+8d=10 001+ 2 000×8=0.26×105km2,再加上原有的沙漠 面积9×105km2,到2022年底,该地区的沙漠 面积大约变成9.26×105 km2.

易错疑难辨析

? ? ? ? ? ?

已知数列{an},a1=a2=1,an=an- 1+2 (n≥3). (1)判断数列{an}是否为等差数列?说明理由; (2)求{an}的通项公式. [错解] (1)∵an=an-1+2, ∴an-an-1=2(为常数),∴{an}是等差数列. (2)由上述可知,an=1+2(n-1)=2n-1.

? [辨析] 忽视首项与所有项之间的整体关系, 而判断特殊数列的类型是初学者易犯的错 误.事实上,数列{an}从第2项起,以后各项 组成等差数列,而{an}不是等差数列,an=f(n) 应该表示为“分段函数”型. ? [正解] (1)当n≥3时,an=an-1+2, ? 即an-an-1=2. ? 当n=2时,a2-a1=0不满足上式. ? ∴{an}不是等差数列.

(2)∵a2=1,an=an-1+2(n≥3), ∴a3=a2+2=3.∴a3-a2=2. 当n≥3时,an-an-1=2. ∴an=a2+(n-2)d=1+2(n-2)=2n-3, 又a1=1不满足式.
? ?1?n=1? ∴an=? ? ?2n-3?n≥2?

.

课时作业
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